Определение и вычисление тройного интеграла
Тройной интеграл является аналогом двойного интеграла и вводится для функции трех переменных.
Определение: Пусть в некоторой замкнутой ограниченной области трехмерного пространства задана ограниченная функция . Разобьем область на произвольных областей, не имеющих общих внутренних точек с объемами . В каждой области возьмем производную точку и составим сумму: , которая называется интегральной суммой для функции по области . Перейдем к пределу в этой сумме при , где – наибольший из диаметров частичных областей . Если этот предел существует и конечен, и не зависит ни от способа разбиения области , ни от выбора точек , то этот предел называется тройным интегралом функции по области и обозначается:
.
В этом случае функция называется интегрируемой в области ; - областью интегрирования; , и - переменными интегрирования.
Тройные интегралы являются непосредственным обобщением двойных интегралов на случай трехмерного пространства. Они обладают аналогичными двойным интегралам необходимыми и достаточными условиями существования и свойствами. Если положить всюду в области , то из определения тройного интеграла следует формула для вычисления объема тела :
.
Как и в случае двойных интегралов, вычисление тройных интегралов сводится к вычислению интегралов меньшей кратности.
Рассмотрим область ограниченную снизу и сверху поверхностями и , а с боковых сторон цилиндрической поверхностью, и пусть область – проекция области на плоскость , в которой определены и непрерывны функции и (см. рисунок 1). Предположим что каждая прямая, параллельная оси , пересекает границу области не более чем в двух точках.
Рисунок 1
Тогда для любой функции , непрерывной в области , имеет место формула:
,
позволяющая свести вычисление тройного интеграла к последовательному вычислению внутреннего определенного интеграла по переменной (при постоянных и ) и внешнего двойного интеграла по области .
Переходя от двойного интеграла к повторному, получаем формулу:
, | (1) |
сводящую вычисление тройного интеграла к последовательному вычислению трех определенных интегралов. Порядок интегрирования может быть и другим, то есть переменные , и в формуле (1) можно менять ролями.
В частности, если – параллелепипед с гранями , , , , , , то формула (1) принимает вид:
. | (2) |
В этом случае интегрирование можно проводить в любом порядке.
Пример 1. Вычислить интеграл: , где – параллелепипед, ограниченный плоскостями: , , , , , (см. рисунок 2).
Рисунок 2
Решение:
.
Ответ: .
Пример 2. Вычислить интеграл , где – пирамида, ограниченная плоскостью и координатными плоскостями , , .
Решение: область проектируется на плоскость в треугольник , ограниченный прямыми , , (см. рисунок 3).
Рисунок 3
.
Ответ: .