Основные свойства двойного интеграла

Можно заметить, что процесс построения интеграла в области D дословно повторяет уже знакомую нам процедуру определения интеграла функции одной переменной на отрезке. Аналогичны и свойства этих интегралов и их доказательства. Поэтому перечислим основные свойства двойного интеграла, считая подынтегральные функции интегрируемыми.

1. , c –const.

2. .

3. Если область D разбить линией на две области и такие, что , а пересечение и состоит лишь из линии, их разделяющей, (см. рисунок 3), то

Рисунок 3

.

4. Если в области D имеет место неравенство , то . Если в области D функции и удовлетворяют неравенству , то и .

5. , так как .

6. Если функция непрерывна в замкнутой области D, площадь которой S, то , где m и M – соответственно наименьшее и наибольшее значения подынтегральной функции в области D.

7. Если функция непрерывна в замкнутой области D, площадь которой S, то в этой области существует такая точка , что . Величину

называют средним значением функции в области D.