Масса плоской пластины

Требуется найти массу m плоской пластины D, зная, что ее поверхностная плотность есть непрерывная функция двух переменных. Разобьем пластину D на n элементарных частей , площади которых обозначим через . В каждой области возьмем произвольную точку и вычислим плотность в ней: .

Если области достаточно малы, то плотность в каждой точке мало отличается от значения . Считая приближенно плотность в каждой точке области постоянной и равной , можно найти массу : . Так как масса m всей пластины D равна , то для ее вычисления имеем приближенное равенство:

.

Точное значение массы получим как предел суммы при условии :

,

или,

.

Итак, двойной интеграл от функции численно равен массе пластинки, если подынтегральную функцию считать плотностью этой пластинки в точке . В этом состоит физический смысл двойного интеграла.