Основные понятия и определения

Двойной интеграл по области

Обобщением определенного интеграла на случай функций двух переменных является так называемый двойной интеграл.

Определение: Пусть функция определена в области D. Разделим область D на n частей, обозначим эти части , а их площади . Внутри каждой области выберем точку (см. рисунок 1), найдем значение функции в точке и составим сумму: .

Рисунок 1

Эта сумма называется интегральной суммой функции в области D.

Перейдем к пределу в этой сумме при , где – наибольший из диаметров (диаметром в некоторой области назовем наибольшее расстояние между двумя граничными точками этой области):

.

И если этот предел существует и конечен и не зависит ни от способа разбиения области D на частичные, ни от выбора точек , то этот предел называется двойным интегралом функции по области D. И обозначается:

.

В этом случае функция называется интегрируемой в области D, D – область интегрирования, x и y – переменные интегрирования, (или ) – элемент площади.

Для всякой функции существует двойной интеграл? На этот вопрос отвечает следующая теорема, которую мы приведем здесь без доказательства.

Теорема (достаточное условие интегрируемости функции). Если функция непрерывна в замкнутой области D, то она интегрируема в этой области.