Решение

Поверхность показана на рисунке 16. Вычислим поток векторного поля через нее двумя способами.

Рис. 16.

1)Используем теорему Гаусса – Остроградского. Для этого вычислим дивергенцию поля.

.

По теореме Гаусса – Остроградского вычислим поток через замкнутую поверхность .

.

Тройной интеграл сведем к двойному интегралу, проектируя область в плоскость .

Решив совместно уравнения ограничивающих область поверхностей

, ,

выясним, что область , на которую проектируется область , представляет собой круг радиуса 1, лежащий в плоскости (рис. 17).

Рис. 17.

Перейдем в полученном двойном интеграле к полярным координатам.

.

В каждом из двух повторных интегралов переменные разделены. Они являются произведениями интегралов, из которых один зависит только от переменной , а другой – от переменной . Первый повторный интеграл равен нулю, так как в нем внешний интеграл вычисляется от синуса и косинуса по периоду. Поэтому поток записывается в виде следующего интеграла.

.

2)Теперь вычислим поток, разделяя его на два потока

.

Поток вычисляется через поверхность в направлении нормали , а поток вычисляется через поверхность в направлении нормали (рис. 16).

, .

Обе поверхности проектируются в плоскость в область (рис. 17).

: ; ; . Тогда .

: , , , где .

.

Вычислим . Ясно, что , так оба вектора образуют с осью угол, больший, чем . , а .

Выбирая знак плюс перед интегралом в формуле для потока , получим

.

В полученном интеграле перейдем к полярным координатам.

.

Следовательно, поток через всю поверхность определяется по формуле

.