Решение

Моменты инерции

Относительно начала координат:

.

Относительно координатных осей:

; ; .

Относительно координатных плоскостей:

, , .

Задача

Вычислить координаты центра тяжести тела, ограниченного поверхностями .

Рис. 8.

Из симметрии тела (рис. 8) ясно, что центр тяжести лежит в плоскости , то есть .

Для определения остальных координат центра тяжести, используем формулы:

, .

где – масса тела.

Тело является однородным, поэтому положим плотность . Тогда масса тела равна

.

Область является проекцией области в координатную плоскость (рис. 9).

Рис. 9.

Вычислим двойной интеграл, расставив пределы интеграции в декартовых координатах:

.

Координаты центра тяжести:

.

.

Следовательно, центр тяжести тела имеет координаты .

Криволинейные и поверхностные интегралы 1 – го рода