Тройной интеграл в декартовых координатах

Предположим, что область интегрирования в тройном интеграле ограничена гладкими поверхностями, заданными в прямоугольной декартовой системе координат . Разобьем область интегрирования на элементарные области плоскостями, параллельными координатным плоскостям, , , . Тогда элементарный объем каждой области будет равен .

По определению:

.

Рис. 1.

Пусть область однозначно проектируется в область на плоскости . При этом поверхность, которая ограничивает область , можно разбить на две поверхности: поверхность , ограничивающая снизу, и поверхность , ограничивающая сверху (рис. 1).

Разобьём область на плоскости на элементарных областей . Обозначим через площадь элементарной области .

На каждой элементарной области построим цилиндр с образующей, параллельной оси . Такой цилиндр вырежет на граничных поверхностях и некоторые элементарные области, которые будем считать плоскими и параллельными координатной плоскости . Каждый цилиндр разобьем на частей плоскостями, параллельными координатной плоскости , и расстояния между плоскостями обозначим через .

В результате область разобьётся на элементарные цилиндры с площадью основания и высотой . Объём элементарного цилиндра равен: .

В каждом элементарном цилиндре выберем точку . Тогда интегральная сумма примет вид:

,

где функция является интегралом с переменным верхним и нижним пределом.

Следовательно, тройной интеграл равен двойному интегралу по проекции на плоскость области . Подынтегральной функцией этого двойного интеграла является интеграл по переменной от функции в пределах: от значения на поверхности, являющейся нижней границей области , до значения на поверхности, являющейся верхней границей .

.

Задача

Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями , , .

Рис. 2.