Вычисление двойного интеграла (простейший случай).

Пусть область D задана неравенствами:

то есть изображается прямоугольником KLMN, тогда двойной интеграл может быть вычислен по любой из формул:

Выражения, стоящие в правых частях, называются повторными интегралами.

Замечание:

· В повторном интеграле сначала вычисляется определённый интеграл . В процессе этого интегрирования х рассматривается, как переменная интегрирования, а у рассматривается как постоянная величина.

· В повторном интеграле сначала вычисляется определённый интеграл . В процессе этого интегрирования у рассматривается, как переменная интегрирования, а х рассматривается как постоянная величина.

Двойной интеграл взятый по прямоугольнику, стороны которого параллельны осям Ох и Оу, обозначается:

при этом внешние пределы интегрирования соответствуют внешним дифференциалам.

Двойной интеграл представляет собой объём тела, ограниченного снизу прямоугольником, сбоку - боковыми гранями прямой призмы, построенном на этом прямоугольнике, а сверху - той частью поверхности функции z=f(x, y), которая вырезана этой призмой:

Например: Вычислить двойной интеграл:

I способ:

II способ: