Метод Ньютона

В принципиальном плане он представляет собой обобщение ранее рассмотренного метода касательных.

Предположим, что исходная система уравнений имеет вид (5.4) или в свернутом виде

. (5.4₁)

Пусть ,- некоторое приближение к решению. Разложим левые части (5.4), (5.4₁) по формуле Тейлора, ограничиваясь учетом малых первого порядка. В результате этого, получим

,

или, в более удобном, матричном виде

,

где ,- матрица Якоби системы функций . Предполагая, что , разрешим последнее уравнение относительно x. Тогда

и на основе этого соотношения формируется вычислительный процесс

, (5.5)

который и называется методом Ньютона.

Если последовательность сходится к некоторому вектору x, то он очевидно, и является решением системы (5.4₁). Действительно, в этом случае из (5.5) следует

,

откуда, в силу , .

Вопросы сходимости последовательности (5.5) могут быть изучены также, как в п. 5.2. Достаточным для реализации метода в области D, содержащим решение, является требование .