Расчет статистических характеристик по сгруппированным данным

Класс x, % Частота ni Номер класса xi Произведения Сумма частот Sni
30-32 -5 -10 -250
32-34 -4 -24 -376
34-36 -3 -27 -243
36-38 -2 -28 -112
38-40 -1 -20 -20
40-42
42-44
44-46
46-48
48-50
50-52
52-54
54-56
               
             
Cумма
Среднее 0,56 6,80 14,33 132,30
               
             
Моменты m1 m2 m3 m4
                 

Между формулами (2.14) и (2.17) имеются различия. Так, в формулах (2.17) появляется размер классов h, играющий роль масштабного множителя, и поправки Шеппарда, которые возник ли из-за того, что внутри классов нивелированы различия между отдельными значениями.

Поправка Шеппарда ко второму центральному моменту –h/12, к третьему –m1h2, к четвертому .

По данным табл.2.5 вычисляем статистические характеристики:

= 41 + 0,56×2 = 42,12; m2 = (6,80 – 0,562 – 1/12)22 = 25,6;

m3 = (14,33 – 3×6,80×0,56 + 2×0,563)23 – 0,56×22 = 23,82;

m4 = (132,3 – 4×14,33×0,56 +

+ 6×6,80×0,562 – 3×0,564)24 – (6,80 – 0,56)/2×22 +

+ 7/240×24 = 1790,7;

s2 = 25,6; s = 5,06; s3 = 129,5; s4 = 655,36;

V = 5,06/42,12 = 0,120 = 12,0 %; A = 23,82/129,5 = 0,184;

E = 1790,7/655,36 – 3 = –0,268.

Медиану в сгруппированных данных находят линейной интерполяцией в том классе, где нарастающая сумма частот (последняя графа табл.2.5) переходит через половину общего числа значений n. В рассматриваемом примере из 147 значений средний член имеет порядковый номер (147 + 1)/2 = 74. Следовательно, медиана заключена в классе 40-42, где находятся порядковые номера с 52 по 76. Обозначим начало класса xн = 40, число значений в классе ni = 25. Порядковый номер медианы в классе найдем как разность nт = 74 – 51 = 23.

Тогда медиана

(2.18)

Подставляя данные, получим xmed = 40 + 23/25×2 = 41,84.

Один из приемов нахождения моды основан на параболической интерполяции частот по трем соседним классам, включая класс с максимальной частотой.

В рассматриваемом примере это будут классы 38-40, 40-42, 42-44 с частотами соответственно 20, 25, 21.

Обозначим частоты этих классов n1, n2, n3.

Тогда мода

, (2.19)

где x0 – середина класса с максимальной частотой.

Подставляя численные значения, найдем

.

Подведем итог расчета статистических характеристик: среднее значение = 42,12; медиана xmed = 41,84; мода xmod = 41,11; дисперсия s2 = 25,6; среднеквадратичное отклонение s = 5,06; коэффициент вариации V = 12,0 %; асимметрия A = 0,184; эксцесс E = –0,268.

 

 

Геологические приложения одномерной статистической модели