Композиция отображений.

Отображения фигур на плоскости.

Определение 1: формулы связывающие координаты x^/, y^/ образа М^/ произвольной точки М и ее координаты x, y относительно выбранной (аффинной или прямоугольной декартовой) системы координат Оxy, называются формулами или уравнениями соответствующего отображение.

Определение 2: отображения фигуры F называется тождественным, если все точки фигуры F являются тождественными (двойными).

Обозначение: ε; ε(F)=F; формулы: ε:

Если обозначить , то говорят о параллельном переносе на вектор α и пишут: F^/= (F) .

Выведем формулы параллельного переноса.

Пусть , М(x; y), М^/(x^/;y^/). Тогда - по определении 3 или в координатах

Определение 4: поворотом фигуры F вокруг центра С на направленный угол α называется ее отображение, при котором:

1) точка С является неподвижной;

2)

Обозначение:

Определение 5: центральной симметрией с центром С называется поворотом вокруг центра С на угол α=π.

Обозначение: М^/=Z_C(M)= .

Определение 6: осевой симметрией c осью р называется отображение фигуры F, при котором ее любая точка М отображается на точку М^/, симметричную точке М относительно прямой р.

ММ₀=М₀М^/.

Р – прямая неподвижных точек

(например, точки М₀, N₀, K₀).

Обозначение: М^/=S_р(М).

Пример 2: р=О_х

S_ох:

Пример 3: р=О_у

S_ох:

Определение: Композицией или произведением отображений f₁ и f₂ называется отображение f, являющиеся результатом последовательного выполнения системы отображения f₁, затем f₂.

М^/=f₁(M); М^//=f₂(M);

М^//=f₂°(f₁(M))= (f₂°f₁)(M).

Примеры:

1) е – тождественное отображение, f – произвольное отображение, тогда имеем:

2) f₁= , f₂= , тогда имеем:

° =

3) f₁=Z_C=f₂, тогда имеем:

Z_C°Z_C= ° = = =e =e.

4) f₁= 2₁=

Найдем формулы композиции f₂°f₁.

М^//=f₂(M^/):

М^//=f₂(f₁(M))= (f₂°f₁)(M): ⇒ f₂°f₁:

Координаты исходной точки фигуры обозначают через x и y, а ее образа – x^/, y^/. Поэтому удобнее следующая запись:

f₂°f₁: f₁°f₂:

Теорема: для композиции отображений справедлив ассоциативный (сочетательный) закон:

f₃°(f₂°f₁)= (f₃°f₂)°f₁ (1)

Доказательство.

М^//=f₂°f₁(M), М^///=f₃(M^//)⇒

М^///=f₃°(f₂°f₁)(M) (2)

М^/=f₁(M), М^///=(f₃° f₂)(M^/)⇒

М^///=(f₃°f₂)°f₁(M) (3)

Тогда имеем М М^//, М^// М^///, то есть с одной стороны М М^///, с другой стороны М М^/, М^/ М^///, то есть М М^///.

В следствии произвольного выбора точки М фигуры F из соотношений (2) и (3) следует формула (1).

Замечание: коммутативный закон для композиции отображений иногда справедлив, иногда – нет, то есть в общем случае: f₂°f₁f₁°f₂.

Примеры:

1) ° =

° =

° = °

2) f₁=S_p, f₂=S_q, p q (p и q различны и p q)

M М₁^/ М₁^//

М₁^// M^//⇒ S_q° S_p S_p° S_q.