Теорія ігор займається тільки стратегічними та статистичними іграми!

Метою теорії ігор є передбачення результатів стратегічних, оперативних ігор, коли учасники не мають повної інформації про наміри один одного.

Отже, математична модель конфлікту (тобто ситуації, у якій стикаються інтереси двох чи більше сторін, що мають суперечливі цілі при чому виграш кожної зі сторін залежить від того, як поводитимуться інші) називається грою. Сторони у конфлікті називаються гравцями. Результат гри – виграшем, програшем або нічиєю. Правиламигри – перелік прав та обов’язків гравців. Ходом гри називається вибір гравцем однієї з передбачених правилами гри дій. Ходи бувають особисті і випадкові. Особистий хід – це свідомий вибір гравця, випадковий – відбір дії, що не залежить від його волі.

Залежно від кількості можливих ходів у грі, ігри поділяються на скінчені та нескінчені. Скінченні – ті, котрі передбачають скінченне число ходів, нескінченні — в іншому разі. Деякі ігри в принципі мають вважатися скінченними, але мають так багато ходів, що належать до нескінченних. Класичний приклад шахи. Стратегією гравця називається сукупність правил, що визна­чають вибір варіанта дій у кожному особистому ході. Оптимальною стратегією гравця називається стратегія, яка при багаторазовому повторенні гри забезпечує даному гравцю максимально можливий середній виграш. Завдання теорії ігор — виявлен­ня оптимальної стратегії.

Гра називається грою з нульовою сумою, якщо сума виграшів усіх гравців дорівнює нулю, тобто кожен виграє за рахунок інших. Гра називається парною, якщо в неї грають два гравці. Парна гра з нульовою сумою називається антагоністичною. Теорія таких ігор найбільше розвинена. Крім того, такі ігри моделюють великий клас реальних конфліктів. Подальші міркування будуть стосувати­ся саме антагоністичних ігор.

Основне припущення, на підставі якого знаходять оптимальне рішення в теорії ігор, полягає в тому, що супротивник такий же ро­зумний, як і сам гравець.

У грі грають два гравці, назвемо їх А і В. Себе прийнято ото­тожнювати з гравцем А. Нехай в А є m можливих стратегій: А₁, А₂, ...., А_m, а в супротивника В – п можливих стратегій: В₁, В₂, ...., В_п. Така гра називається грою m х n.

Позначимо через а_ij виграш гравця А при власній стратегії А_i, і стратегії супротивника В_j. Зрозуміло, що кількість таких ситуацій може бути m х n. Гру зручно відображати таблицею, що називається платіжною матрицею, або матрицею виграшів.Платіжна матриця має стільки стовпців, скільки стратегій у гравця В, і стільки рядків, скільки стратегій у гравця А. На перетинанні рядків і стовпців, що відповідають різним стратегіям, стоять виграші гравця А і, відповідно, програші гравця В.

Платіжна матриця представляє собою табличний запис функції виграшу матричної гри. Партія в матричній грі реалізується так: гравець А вибирає один з рядків платіжної матриці (одну зі своїх стратегій). Гравець В, не знаючи вибору гравця А, вибирає один зі стовпчиків платіжної матриці (одну зі своїх стратегій). Елемент матиці, якій стоїть на перетині рядка і стовпця, що вибрані, визначає виграш гравця А і програш гравця В.

Ціль гравців полягає у виборі таких стратегій, при застосуванні яких гравець А має максимальний виграш, а гравець В мінімальний програш. В теорії ігор виходять з того, що кожний гравець вважає свого пробника розумним і таким, що прагне помішати йому отримати найкращій результат.

Загалом "платіжна матриця" корисна, якщо:

— є обмежена кількість альтернатив або варіантів стратегії для вибору між ними;

— те, що відбудеться, з повною визначеністю невідомо;

— результати прийнятого рішення залежать від того, яку саме обрано альтернативу та які події насправді мають місце.