Нелинейных уравнений

Метод Ньютона для решения систем

Уравнений методом Зейделя

Решение системы из двух нелинейных

 

xk+1=f(xk,yk)

yk+1=g(xk,yk)

 

 

Пусть нам дана система из двух нелинейных уравнений

(2)

Этот метод является приближенным методом решения системы нелинейных уравнений, основан на принципах линеаризации. Идея метода состоит в сведении системы нелинейных алгебраических уравнений к системе линейных. В основе метода лежит представление всех уравнений системы (2) в виде рядов Тейлора.

, х0=а

Рассмотрим систему из двух уравнений и разложим обе функции в ряд Тейлора вблизи точек и .

Отбросим нелинейную часть

Если предположить, что ,, то, приравнивая левую часть системы уравнений нулю, получим другую систему

или

x
y0
x0
g(x,y)
f(x,y)
y
Зная вид этих функций можно построить графики. Приближенное место пересечения даст значение нулевого приближения

 

Так продолжаем до тех пор, пока не будут выполняться условия окончания

 

y
x
Пример.

x0=-1, y0=0

F(x,y)=x2+y2-1

G(x,y)=x+y

F'x=2x, F'y=2y

G'x=1, G'y=1