Квадратичная форма. Исследование на знакоопределенность квадратичной формы.
Линейный оператор. Собственные значения и собственные векторы линейных операторов.
Проверка на базис.
Сложение, вычитание векторов, угол между векторами, скалярное произведение векторов.
ТЕМА 3: ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА.
1. СЛОЖЕНИЕ, ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ, УГОЛ МЕЖДУ ВЕКТОРАМИ, СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ.
Суммой двух векторов 
и 
называется вектор 
, начало которого совпадает с началом вектора , а конец с концом вектора при условии, что начало вектора совпадает с концом вектора (рис 1) (правило треугольников).
Очевидно, что вектор в этом случае представляет диагональ параллелограмма, построенного на векторах и (рис 1) (правило параллелограмма).
Рис. 1.
Разностью двух векторов и называется сумма вектора и вектора 
, противоположного . Легко убедится в том, что на параллелограмме, построенном на векторах и это будет другая диагональ (рис 2).
Рис. 2.
Координатами вектора называются координаты его конечной точки.
Если 
и 
, то суммой и разностью являются соответственно векторы:
А произведение вектора на число 
есть вектор 
.
Длина вектора равна корню квадратному его из суммы квадратов его координат:
Скалярным произведением 
двух векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:
Угол между векторами и определяется по формуле
Пример 3.1.Даны векторы:
Найти:
а) векторы 
и 
;
б) длины векторов и 
;
в) скалярный квадрат вектора ;
г) скалярное произведение векторов 
;
д) угол меду векторами и ;
Решение:
а) По определению 
и 
.
б) Найдем длины векторов:
в) Скалярный квадрат вектора равен квадрату модуля вектора, т.е.:
г) Найдем скалярное произведение:
д) Найдем угол между векторами:
откуда 
2. ПРОВЕРКА НА БАЗИС.
Совокупность 
линейно независимых векторов 
мерного пространства 
называются базисом.
Векторы 
векторного пространства называются линейно зависимыми, если существуют такие числа 
, такие что хотя бы одно из них отлично от нуля, и выполняется равенство:
.
Если три вектора являются линейно независимыми (т.е. являются базисом) то они компланарны (не лежат в одной плоскости или на параллельных плоскостях).
Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов, заданных в декартовом базисе, является равенство нулю определителя третьего порядка, в первой строке которого записаны координаты первого вектора, во второй строке – второго, в третьей – третьего.
Пример 3.2.Проверить, образуют ли вектора 
базис.
и найти координаты вектора 
в этом базисе.
Решение.
Базис в трехмерном пространстве могут образовывать любые три линейно независимые вектора, для этого построим определитель, и убедимся что он не равен нулю.
Итак, векторы образуют базис. По теореме про линейную зависимость любых четырех векторов в трехмерном пространстве разложим вектор 
на векторах .
где 
искомые координаты вектора .
Решая полученную систему уравнений получим 
. Таким образом вектор имеет в базисе такие координаты 
.
3. ЛИНЕЙНЫЙ ОПЕРАТОР
Если задан закон (правило), по которому каждому вектору пространства 
ставится в соответствие единственный вектор 
пространства 
, то говорят, что задан оператор 
, действующий из в , и записывают 
.
Оператор называется линейным, если для любых векторов и 
пространства и любого числа выполняются соотношения:
1. 
- свойство аддитивности оператора;
2. 
- свойство однородности оператора.
Вектор называется образом вектора , а сам вектор - прообразом вектора .
Каждому линейному оператору соответствует матрица в данном базисе. Справедливо и обратное: всякой матрице 
-ого порядка соответствует линейный оператор -мерного пространства.
Связь между вектором и его образом можно выразить в матричной форме уравнением:
,
где А – матрица линейного оператора, 
, 
- матрицы-столбцы из координат векторов и .
Пример 3.3.Пусть в пространстве 
линейный оператор 
в базисе 
задан матрицей 
. Найти образ вектора 
.
Решение.
По формуле имеем:
Следовательно, 
.
4. СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ И СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ
Вектор 
называется собственным векторомлинейного оператора 
, если найдется такое число , что
.
Число называется собственным значениемоператора (матрицы А), соответствующим вектору 
.
Равенство можно переписать в матричной форме:
отсюда получим:
.
Полученная однородная система всегда имеет нулевое решение. Для существования ненулевого решения системы необходимо и достаточно, чтобы определитель системы 
был равен нулю.
Определитель является многочленом -ой степени относительно . Этот многочлен называется характеристическим многочленом оператора или матрицы А, а уравнение 
характеристическим уравнением оператора или матрицы А.
Пример 3.4.Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора , заданного матрицей 
.
Решение. Составляем характеристическое уравнение 
или 
,
откуда собственные значения линейного оператора 
.
Находим собственный вектор 
, соответствующий собственному значению 
. Для этого решаем матричное уравнение:
, или 
.
Откуда находим 
или 
. Положив 
, получим, что векторы 
при 
являются собственными векторами линейного оператора с собственным значением .
Аналогично определяем вектор 
при любом 
являются собственными векторами линейного оператора с собственным значением 
.
5. ИССЛЕДОВАНИЕ НА ЗНАКООПРЕДЕЛЕННОСТИ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ
Квадратичной формой 
от переменных называется сумма, каждый член которой является либо квадратом одной из переменных, либо произведением двух переменных, взятых с некоторым коэффициентом:
.
Предполагается, что коэффициенты квадратичной формы 
- действительные числа, причем 
. Матрица 
, составленная из этих коэффициентов, называется матрицей квадратичной формы.
В матричной записи квадратичная форма имеет вид:
где 
- матрица-столбец переменных.
Теорема.Для того чтобы квадратичная форма была положительно (отрицательно) определенной, необходимо и достаточно, чтобы все собственные значения 
матрицы А были положительны (отрицательны).
Если собственные значения разных знаков то знакоопределённость квадратичной формы установить нельзя.
В ряде случаев для установления знакоопределенности квадратичной формы удобнее бывает применить критерий Сильвестра.
Теорема.Для того, чтобы квадратичная форма была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры матрицы этой формы были положительны, т.е. 
, где:
, 
, …, 
Для отрицательно определенных квадратичных форм знаки главных миноров чередуются, начиная со знака «минус» для минора первого порядка:
, 
, …, 
.
Если не один из критериев не выполняется, то знакоопределённость матрицы не устанавливается.
Пример 3.5.Проверить знакоопределенность квадратичной формы
a) 
б) 
Решение:
а) При помощи собственных значений:
Матрица 
квадратичной формы имеет вид 
. Для матрицы А характеристическое уравнение имеет вид:
или 
.
Решая уравнение найдем 
. Так как корни характеристического уравнения матрицы А положительны, но квадратичная форма положительно определенная.
При помощи критерия Сильвестра:
Так как главные миноры матрицы А
положительны, то по критерию Сильвестра данная квадратичная форма положительно определенная.
б) Матрица квадратичной формы имеет вид 
. Поскольку при нахождении собственных значений получим уравнение третей степени, для определения знакоопределенности воспользуемся для удобства лишь критерием Сильвестра.
Главные миноры матрицы А:
.
Так как знаки миноров чередуются начиная со знака «минус», то это означает что квадратичная форма отрицательно определена.