Теорема.

а) Если l₁ ÎR – k-кратный корень, то k функций

– линейно независимые решения д. у. (1).

б) Если ÎС – k-кратные корни, то 2k функций

– линейно независимые решения д. у. (1).

Примеры. 1.

y_оо = С₁y₁ + С₂y₂ + С₃y₃,

y₁, y₂, y₃ –линейно независимые решения.

Характеристическое уравнение:

Þ

2.

y_оо = С₁y₁ + С₂y₂,

y₁, y₂ –линейно независимые решения.

Характеристическое уравнение:

3.

y_оо = С₁y₁ + С₂y₂,

y₁, y₂ –линейно независимые решения.

Характеристическое уравнение:

4.

y_оо = С₁y₁ + С₂y₂ + С₃y₃ + С₄y₄,

y₁, y₂, y₃, y₄ –линейно независимые решения.

Характеристическое уравнение:

14.2. Метод неопределенных коэффициентов нахождения решения д. у. L_n [y] = f(x) с постоянными коэффициентами и специальной правой частью.

y_oн = y_oo + y_чн

y_ooнаходить научились,

y_чн тоже – методом вариации произвольных постоянных (Лагранжа).

В некоторых случаях вид одного из y_чн заранее ясен.

Вместо метода Лагранжа можно применить метод неопределенных коэффициентов.

Частный случай 1. L_n [y] = P_m(x).

Правая часть уравнения есть многочлен степени m.

Þ y_чн тоже можно искать в виде многочлена.

а) при p_n¹0y_чн(x) той же степени m,

y_чн= A₁x^m+ A₂x^m–1+ … + A_m+1.

б) при p_n= 0, если последнее ненулевое слагаемое в левой части уравнения имеет вид p_n–ky^(k),

то степень многочлена y_чн(x) должна быть на kединиц выше, чем в правой части:

y_чн= x^k (A₁x^m + A₂x^m–1 + … + A_m+1).

Замечание.В ситуацииа) характеристический многочлен заданного дифференциального уравнения не имеет корня l=0; в ситуацииб) у него есть корень l=0 кратности k.