Основные свойства бесконечно малых последовательностей.

♦ Теорема 8.1.Сумма двух бесконечно малых последовательностей и есть бесконечно малая последовательность.

Доказательство.Фиксируем ; – бесконечно малая ,

– бесконечно малая . Выберем . Тогда при , , . ■

♦ Теорема 8.2. Разность двух бесконечно малых последовательностей и есть бесконечно малая последовательность.

Для доказательства теоремы достаточно использовать неравенство . ■

Следствие.Алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых последовательностей представляет собой бесконечно малую последовательность.

♦ Теорема 8.3.Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность есть бесконечно малая последовательность.

Доказательство. – ограниченная, – бесконечно малая последовательность. Фиксируем ; , ; : при справедливо . Тогда . ■

♦ Теорема 8.4.Всякая бесконечно малая последовательность является ограниченной.

Доказательство. Фиксируем Пусть некоторое число . Тогда для всех номеров n, что и означает ограниченность последовательности. ■

Следствие. Произведение двух (и любого конечного числа) бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

♦ Теорема 8.5.

Если все элементы бесконечно малой последовательности равны одному и тому же числу c, то с=0.

Доказательство теоремы проводится методом от противного, если обозначить . ■

♦ Теорема 8.6.1) Если – бесконечно большая последовательность, то, начиная с некоторого номера n, определено частное двух последовательностей и , которое представляет собой бесконечно малую последовательность.

2) Если все элементы бесконечно малой последовательности отличны от нуля, то частное двух последовательностей и представляет собой бесконечно большую последовательность.