Лекция 10

Введем в рассмотрение ошибку оценивания

.

Отсюда

и, следовательно, уравнение (6) принимает вид

, (7)

где - матрица замкнутой системы при использовании закона управления . Как мы показали в параграфе, посвященном наблюдателю, уравнение для ошибки имеет вид

, (8)

где является матрицей наблюдателя. Итак, состояние системы с наблюдателем описывается уравнениями (7) и (8). Введя в рассмотрение составной вектор размерностью , систему из этих уравнений можно представить в векторно-матричной форме

(9)

Следовательно, роль матрицы системы с наблюдателем играет блочная матрица

,

как видим, имеющая треугольный нижний блочный вид. Отсюда характеристический многочлен замкнутой системы с наблюдателем

Здесь - единичная матрица размерности , а - единичная матрица размерности .

В теории матриц показано, что определитель треугольной блочной матрицы равен произведению определителей матриц, расположенных на главной диагонали, поэтому

,

где

представляет собой характеристический многочлен желаемой системы, а

является характеристическим многочленом наблюдателя.

Следовательно, введение в систему наблюдателя не изменяет расположения найденных в соответствии с требованиями качества полюсов , , проектируемой системы, а лишь добавляет полюсы наблюдателя .

Это свойство систем с наблюдателем позволяет разделить задачу проектирования системы на две независимые части, включающие в себя:

1. выбор векторного коэффициента обратной связи по состоянию, исходя из желаемого расположения полюсов ,, проектируемой системы. Эта задача, которую мы решали для случая, когда вектор состояния измерим,

2. выбор векторного коэффициента наблюдателя в соответствии с теми требованиями, которые предъявляются к расположению полюсов , , наблюдателя. Полученный вывод носит название теоремы разделения.

Изменяя параметр , можно найти такие значения полюсов наблюдателя , при которых свойства проектируемой системы мало будут отличаться от свойств желаемой системы. При этом рекомендуется выбирать полюсы наблюдатели из условия .

Здесь - доминирующие полюсы желаемой системы.