Рівняння Лапласа в циліндричних координатах

Задача Неймана

задача Неймана (друга крайова задача)формулюється так: знайти функцію яка задовольняє всередині замкненої поверхні рівняння Лапласа та її похідна по напрямку зовнішньої нормалі
у кожній точці М поверхні набуває заданих значень:

К.У. (6.41)

Нагадуємо, що похідна пов’язана з потоком тепла через поверхню . Аналогічно формулюється задача Неймана для двовимірного
та одновимірного випадків.

6.7 Мішана задача

Мішана задача (третя крайова задача) формулюється так: знайти функцію яка задовольняє всередині замкненої поверхні рівняння Лапласа, а у кожній точці М поверхні виконується умова:

К.У. (6.42)

де функції та є заданими. Цю задачу ще називають задачею з косою похідною.

Нехай – гармонічна в деякій області функція трьох змінних. Тоді для неї рівняння Лапласа має вигляд:

(6.43)

Введемо у розгляд циліндричні координати які пов’язані з декартовими координатами формулами

, (6.44)

Звідси зворотній зв’язок:

(6.45)

Щоб записати рівняння Лапласа в циліндричних координатах, знайдемо відповідні частинні похідні функції , використовуючи формули диференціювання складеної функції декількох змінних:

Враховуючи, що:

отримаємо:

(6.46)

Це і є рівняння Лапласа в циліндричних координатах.

Якщо функція U не залежить від z, а лише від x та y, то рівняння Лапласа буде мати вигляд

(6.47)

де r та – полярні координати на площині. Знайдене рівняння є рівнянням Лапласа в полярних координатах.

Приклад 6.3 Знайдемо розв’язок рівняння Лапласа в області D, що обмежена двома колами та якщо значення шуканої функції на колах:

К.У.

де та – сталі.

Це може бути, наприклад, задача про стаціонарний розподіл температури у кільці між двома колами, якщо на самих колах температура задана.

Розв’язуємо задачу у полярних координатах. Очевидно, шукана функція не залежить від кута . Тоді рівняння Лапласа набуває простішого вигляду:

Це звичайне диференціальне рівняння другого порядку, яке допускає пониження порядку. Інтегруючи його, знайдемо

Визначимо та із крайових умов:

звідси

остаточно отримаємо :

6.9 Задача діріхле для круга

Нехай у площині хоу є круг радіуса R з центром в початку координат. на його колі задана деяка функція де – полярний кут. Треба знайти функцію неперервну у крузі, яка задовольняє всередині круга рівнянню Лапласа [1]. Постановка задачі в полярних координатах має вигляд:

, ,

К.У.

Припустимо, що можна розкласти в ряд Фур’є на . Перепишемо рівняння Лапласа, домноживши його на :

Будемо шукати розв’язок за методом Фур’є, подаючи функцію
у вигляді добутку двох функцій, кожна з яких залежить від однієї змінної:

(6.48)

Підставляючи її в рівняння та враховуючи, що

та отримаємо:

Відокремимо змінні:

Отже, рівняння Лапласа розпалося на два диференціальних рівняння:

(І)

. (ІІ)

З рівняння ( І ) маємо

k²+λ=0,

.

Тоді (6.49)

Оскільки задана область є кругом, то при збільшенні кута на 2π точка M(r,φ) повернеться у своє початкове положення. Отже, функція Ф(φ) – 2π-періодична, а це означає, що число має бути цілим: або

Тоді отримаємо множину функцій:

,

Коефіцієнти та залишились невизначеними. Розглянемо рівняння (ІІ):

Розв’язок цього рівняння будемо шукати у вигляді , де – невідомий параметр. Підставимо цю функцію у рівняння:

(6.50)

Поділивши на , отримаємо:

Зазначимо, що – сторонній корінь, оскільки при функція Отже, Остаточно маємо:

(6.51)

Завдяки лінійності та однорідності рівняння Лапласа сума частинних розв’язків:

(6.52)

буде також розв’язком рівняння Лапласа. Для знаходження коефіцієнтів та використаємо крайову умову:

Це є ряд Фур’є для функції з коефіцієнтами та які визначаються за формулами Фур’є:

Звідси:

(6.53)

Таким чином, розв’язком задачі Діріхле у крузі радіуса R є функція (6.52) з коефіцієнтами (6.53).