Матрицы парных сравнений

После построения иерархии устанавливается метод сравнения ее элементов. Если принимается метод попарного сравнения, то строится множество матриц парных сравнений. Для этого в иерархии выделяют элементы двух типов: элементы-«родители» и элементы-«потомки». Элементы-«потомки» воздействуют на соответствующие элементы вышестоящего уровня иерархии, являющиеся по отношению к первым элементами-«родителями».

Матрицы парных сравнений строятся для всех элементов-«потомков», относящихся к соответствующему элементу-«родителю». Элементами-«родителями» могут являться элементы, принадлежащие любому иерархическому уровню, кроме последнего, на котором расположены, как правило, альтернативы. Парные сравнения проводятся в терминах доминирования одного элемента над другим. Полученные суждения выражаются в целых числах с учетом девятибалльной шкалы (см. табл. 2.2).

Заполнение квадратных матриц парных сравнений осуществляется по следующему правилу. Если элемент Е₁ доминирует над элементом Е₂ , то клетка матрицы, соответствующая строке Е₁ и столбцу Е₂, заполняется целым числом, а клетка, соответствующая строке Е₂ и столбцу Е₁ заполняется обратным к нему числом. Если элемент Е₂ доминирует над Е₁ , то целое число ставится в клетку, соответствующую строке Е₂ и столбцу Е₁, а дробь проставляется в клетку, соответствующую строке Е₁ и столбцу Е₂. Если элементы E₁ и Е₂ равнопредпочтительны, то в обе позиции матрицы ставятся единицы.

Для получения каждой матрицы эксперт или ЛПР выносит п(п – 1)/2 суждений (здесь п – порядок матрицы парных сравнений).

Рассмотрим в общем виде пример формирования матрицы парных сравнений.

Пусть Е₁ Е₂,..., Е_п – множество из п элементов (альтернатив) и v₁, v₂, ..., v_п- соответственно их веса, или интенсивности. Сравним попарно вес, или интенсивность, каждого элемента с весом, или интенсивностью, любого другого элемента множества по отношению к общему для них свойству или цели (по отношению к элементу-«родителю»). В этом случае матрица парных сравнений [Е] имеет следующий вид:

Матрица парных сравнений обладает свойством обратной симметрии, т. е.

a_ij = 1 / a_ij,

где a_{ij =} v_i/v_j.

При проведении попарных сравнений следует отвечать на следующие вопросы: какой из двух сравниваемых элементов важнее или имеет большее воздействие, какой более вероятен и какой предпочтительнее.

При сравнении критериев обычно спрашивают, какой из критериев более важен; при сравнении альтернатив по отношению к критерию - какая из альтернатив более предпочтительна или более вероятна.

Для того чтобы определить веса предпочтительности выбора альтернатив (веса значимости альтернатив по какому-либо критерию, например, вероятности реализации угрозы), необходимо найти собственное значение w= (w₁,…,w_n) матрицы A, соответствующее ее максимальному собственному значению λ_max.

Для вычисления весов важностей w= (w₁,…,w_n) находят максимальное собственное число матрицы A, после чего – собственный вектор, соответствующий данному собственному значению.

Произвольно составленная матрица парных сравнений не может быть использована для вычисления вектора w= (w₁,…,w_n). Перед этим необходимо убедиться в согласованности сравнительных оценок эксперта, для чего вычисляется индекс согласованности ИС и отношение согласованности ОС по следующим формулам.

ОС = ИС/СС , ИС = (λ_max- n) / n-1

где СС – индекс случайной согласованности, который необходимо брать из следующей таблицы: