Я лекция
Упражнения.
1. Доказать, что Z – бесконечная циклическая (аддитивная)
группа. Найти все возможные образующие элементы этой группы.
2. Доказать, что Zт – конечная циклическая (аддитивная) группа. Найти все возможные образующие элементы этой группы.
3. Найти все подгруппы группы Z .
4. Доказать, что подгруппа циклической группы – циклическая группа.
Пусть g Î G. Рассмотрим отображение j : Z ® G такое, что j(п) = g n " п Î Z. Очевидно, j - морфизм групп, так как j(т+п) = g т+п = g т g п = j т × j п . Кроме того,
Im j = <g>, Ker j = {n Î Z | g п = e }. Если Ker j = { 0 }, то по Теореме о разложении морфизма Im j = <g> » Z / Kerj = = Z / { 0 } » Z ,то есть < g > - бесконечная циклическая группа. Если же Ker j ¹ { 0 }, то Ker j = d×Z, Im j = <g> » » Z / Kerj = Z / d×Z » Zd , то есть < g > - конечная циклическая группа. Следовательно, любая бесконечная циклическая группа изоморфна аддитивной группе Z, любая конечная циклическая группа изоморфна аддитивной группе Zd .
Литература, использованная при подготовке Курса лекций:
1. Попов А.М. Лекции по линейной алгебре, ч.1.- М.: Изд-во РУДН, 2006
2. Булгаков Д.Н., Попов А.М. Введение в теорию линейных операторов.- М.: Изд-во РУДН, 2003
СОДЕРЖАНИЕ
Лекция 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1. Комбинаторика. Бином Ньютона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Лекция 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2. Комплексные числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Лекция 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3. Соответствия. Функции. Отношения. Отношение
эквивалентности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Лекция 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Лекция 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4. Системы линейных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Лекция 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Лекция 7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
5. Определители. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26
Лекция 8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Лекция 9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Лекция 10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Лекция 11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
6. Группы, кольца, поля. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Лекция 12. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Лекция 13. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
7. Линейные пространства. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
Лекция 14. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Лекция 15. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
Лекция 16. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
8. Системы линейных уравнений (продолжение) . . . . . . . . . 70
Лекция 17. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Лекция 18. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
9. Матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
Лекция 19. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
Лекция 20. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
10. Алгебра многочленов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
Лекция 21. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
Лекция 22. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
Лекция 23. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
11. Поле рациональных функций. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
Лекция 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .103
12. Прямые суммы подпространств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
13. Линейные отображения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
Лекция 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .110
Лекция 26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .113
14. Матрица перехода от одного базиса к другому . . . . . . .113
15. Образ и ядро линейного отображения . . . . . . . . . . . . . . 117
Лекция 27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .119
16. Инвариантные подпространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . .120
Лекция 28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .127
17. Диагонализируемые линейные операторы . . . . . . . . . . .130
Лекция 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .133
18. Евклидовы векторные пространства. . . . . . . . . . . . . . . . 133
Лекция 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .137
19. Ортогональные линейные операторы. . . . . . . . . . . . . . . 138
Лекция 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .144
20. Самосопряженные линейные операторы . . . . . . . . . . . .144
Лекция 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .149
21. Унитарные векторные пространства . . . . . . . . . . . . . . . .149
22. Унитарные линейные операторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . .151
Лекция 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .154
23. Эрмитовы линейные операторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
Лекция 34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .157
24. Билинейные и квадратичные формы . . . . . . . . . . . . . . . 157
Лекция 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .163
Лекция 36 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .168
25. Квадратичные формы в евклидовом пространстве . . . .168
Лекция 37 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .172
26. Эрмитовы формы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
Лекция 38 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .177
27. Эрмитовы формы в унитарном пространстве . . . . . . . . 177
Лекция 39 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .181
27. Группы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .181
Лекция 40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .186
СТРАНЫ ЕВРОПЫ В НОВОЕ ВРЕМЯ
1654-1667 – Российской-Польско-Литовская война (Война за Малороссию).
1655-1660 – «Шведский потоп» – вторжение шведов в Речь Посполитую.
1657-1687 – Руина – раскол Малороссии между Россией, Речью Посполитой и Османской империей.
1656-1658 – Российско-Шведская война.
1667-1700 – Великая Турецкая война – союз Австрии, Венецианской республики, Мальтийского ордена, Речи Посполитой и Савойи, до 1667 и с 1683 – Правобережного Запорожского войска, с 1668 – России и Левобережного Запорожского войска, в 1673-1674, 1683-1684 – Молдавии, с 1687 – Трансильвании против союза Османской империи, Валахии и Крыма, в 1667-1673, 1674-1683, 1684-1700 – Молдавии, в 1669-1683 – Правобережного Запорожского войска, до 1687 – Трансильвании.
1676-1681 – Российско-Османская (Чигиринская) война.
1683-1699 – Польско-Литовско-Османская война.
1684-1699 – Османо-Венецианская (Морейская) война.
1686-1700 – Российско-Османская война.
1684-1699 – Священная лига – против Османской империи – Венецианская республика, Речь Посполитая и Священная Римская империя, с 1686 – Россия.
Причины: усиление влияния Османской империи в Венгрии и в Малороссии. Итоги: установление гегемонии Австрии, территориальные потери Османской империи.
1689-1807 – движение якобитов в Шотландии.
1700-1721 – Великая Северная война. Северный союз – Россия, до 1701, с 1710 – Дания, до 1705, с 1710 – Речь Посполитая и Саксония. Поддержка Швеции Великобританией.
1701 – Акт о престолонаследии Англии – установление, что только англиканец может править Англией.
1701-1714 – Война за Испанское наследство – союз Баварии, Испании и Франции против союза Арагона, Великобритании, Нидерландов, Португалии, Савойи и Священной Римской империи. Причины: бездетность испанского короля Карла II Околдованного, на чьё наследство претендовали австрийские Габсбурги и Бурбоны. Итоги – Утрехтский мир: признание испанским королём Филиппа Анжжуйского, отказавашегося от права наследования французского престола, переход к Австрии Испанских Нидерландов, Миланского герцогства, Неаполитанского королевства, Президи и Сардинии, переход к Великобритании Гибралтара и Минорки и права монопольной торговли в испанских колониях в Америке, переход к Савойе Монферрата, Сицилии и части Миланского герцогства, переход к Пруссии Верхнего Гелдерна.
1707 – образование Великобритании.
1713 – Прагматическая санкция – закон о престолонаследии в Священной Римской империи Германской нации, по которому императорский престол передлавался, в случае отсутствия у императора сыновей, его дочерям.
1740-1748 – Война за Австрийское наследство – союз Австрии, Великобритании, Ганновера, Нидерландов, Саксонии и Сардинского королевства, в 1747-1748 – России против союза Баварии, Испании, Пруссии, Сицилии, Франции и Швеции.
1740-1742 – I Силезская война.
1741-1743 – Российско-Шведская война.
1744-1748 – II Силезская война.
Причины: чрезмерное усиление дома австрийских Габсбургов. Итоги: гарантия Прагматической санкции, уступка Австрией Испании Гуасталлы, Пармы и Пьяченцы.
1756-1763 – Семилетняя (Померанская, III Силезская) война – союз Австрии, Испании, Неаполитанского королевства, Саксонии, Сардинского королевства, Франции и Швеции, в 1757-1761 – России против союза Бенгальской субы, Брауншвейг-Люнебурга, Великобритании, Ганновера, Гессен-Касселя, Лиги ирокезов, Португалии и Пруссии. Причины: колониальные противоречия между Великобританией и Францией, чрезмерное усиление Пруссии. Итоги – Аахенский мир: укрепление Россией своей гегемонии в Европе, усиление колониальной империи Великобритании путём отнятия у Франции Французской Индии, Сенегала, Восточной Луизианы, Канады, Доминики, Сент-Винсента, Гренады и Тобаго, отнятие Испанией у Франции Западной Луизианы.
II пол. XVIII – XIX вв. – Промышленная революция в Европе. Началась в Великобритании.
1789-1804 – Великая Французская революция.
1796-1815 – Наполеоновские войны.
1804-1814, 1815 – Первая Французская империя.
1808-1814 – I Испанская революция.
1812 – принятие в Испании конституции.
1814-1815 – Венский конгресс – восстановление во Франции и Испании власти Бурбонов, восстановление Королевство Обеих Сицилий во главе с Бурбонами, включение в состав Нидерландов Австрийских Нидерландов, восстановление владений Австрии и Пруссии, передача Пруссии части Саксонии, Вестфалии и Рейнской области, вывод Норвегии из личной унии с Данией, установление такой унии со Швецией, восстановление власти Римского папы над Папской областью, роспуск Рейнского союза и образование Германского союза, преобразование Варшавского герцогства в Польское царство и установление его личной унии с Россией.
1815-1833-1849 – Священный союз – Австрия, Пруссия и Россия, затем все европейские государства, кроме Папской области и Османской империи.
1815 – наделение Польши конституцией.
1818 – Аахенский конгресс – вывод оккупационных войск из Франции, присоединение Франции к Священному союзу, установление системы отношений между Австрией, Великобританией, Пруссией и Россией.
1820-1821 – Сицилийская революция.
1820 – Троппауский конгресс – разрешение Австрии ввести свои войска в Королевство Обеих Сицилий.
1820-1823 – II Испанская революция. Король Фердинанд VII игнорировал конституцию 1812 г., вновь ввёл в стране абсолютистские порядки, вернул монастырям земельную собственность, воз-родил инквизицию. В тюрьмах оказались десятки тысяч людей, обвиненных в политических преступлениях. В ответ на действия монарха усилилась деятельность тайных оппозиционных обществ, начались волнения. В Кадисе вспыхнул мятеж войска, которое должно было быть направлено в Латинскую Америку для расправы с борцами за освобождение от испанского ига. Хотя Фердинанд VII вскоре присягнул конституции, но восставшие не прекратили борьбу.
1820 – I Португальская революция. В Лиссабоне и других городах произошло восстание. Было сформировано временное правительство, созваны Кортесы Королевства Португалия, которые разработали конституцию, признанную королём Иоанном VI. Однако после его смерти новый король Мигел разогнал Кортесы и упразднил конституцию.
1821 – Лайбахский конгресс – установление отменить в Королевстве Обеих Сицилий конституцию, разрешение Австрии и России ввести свои войска в Королевство Обеих Сицилий, убеждение России не оказывать помощь греческому восстанию в Османской империи.
1821 – Пьемонтская революция в Сардинском королевстве.
1821-1832 – Греческая война за независимость (Греческая революция).
1821 – восстание на севере Греции, его подавление.
1821 – восстание на юге Греции.
1822 – создание Национального собрания Греческой республики.
1822-1827 – карательные акции Османской империи и Египта против греков.
1827 – Наваринское морское сражение – разгром Британским, российским и французским флотом османского.
1828-1829 – Российско-Османская война.
1829 – Адрианопольский мир между Османской империей и Россией.
1832 – формирование в Греции конституционной монархии.
1822 – Веронский конгресс – подтверждение запрета работорговли, поддержка Греческой революции, принуждение Нидерландов отказаться от таможенных пошлин на судоходство по Рейну, принуждение Швейцарии выдать Сардинскому королевству сардинских революционеров, разрешение Франции ввести свои войска в Испанию.
1830 – II Французская (Июльская) революция. Свержение режима Реставрации и установление режима Июльской монархии.
1830 – Бельгийская революция. Образование независимой от Нидерландов Бельгии.
1830 – Польская революция.
1833 – восстановление Священного союза договором между Пруссией и Россией.
1834-1843 – III Испанская революция.
1836 – Сентябрьская революция в Португалии.
1848-1852 – III Французская (Февральская) революция. Июльская монархия отвечала интересам лишь финансовой буржуазии, вызывала ненависть крестьянства и рабочих, недовольство промышленной и торговой буржуазии, которая усугублялась неурожайными годами 1840-х гг. и кризисом перепроизводства 1847 г. Луи-Филипп вынужден был отречься от престола. Франция была провозглашена республикой, создано Временное правительство Французской республики и Национальное собрание Французской республики, введено всеобщее избирательное право для мужчин, сокращён рабочий день для рабочих до 10-11 часов, увеличены налоги на земельных собственников. Однако временное правительство оказалось не в состоянии выполнить другие требования рабочих и городской бедноты. Это привело в июне 1848 г. к широкому антиправительственному восстанию рабочих Парижа, которое было жестоко подавлено войсками. Власть была передана президенту Луи Наполеону, который 2 декабря 1851 г. приказал арестовать и бросить в тюрьмы опасных для него политических деятелей, а войскам занять правительствен-ные учреждения. В ответ в ряде городов тысячи сторонников республики вышли на баррикады, однако войска быстро подавили восстание. Революция потерпе-ла поражение.
1852 – провозглашение Луи Наполеона императором Франции Наполеоном III.
1848-1849 – I Германская революция.
1848-1849 – Итальянская революция.
1848-1849 – I война за независимость Италии (Австро-Итальянская война).
1848-1849 – Венгерская революция в Австрии.
1849 – введние в австрийскую Венгрию российских войск
1852-1870 – Вторая Французская империя.
1853-1856 – Восточная (Крымская) война – против России Великобритания, Османская империя, Сардинское королевство и Франция, при поддержке Австрии и Пруссии.
1854-1856 – IV Испанская революция.
1859 – II война за независимость Италии (Австро-Сардино-Французская война).
1861 – образование Итальянского королевства.
1864 – Датско-Австро-Прусская война (Война за Герцогства).
1866-1871 – Северо-Германский союз.
1866 – III война за независимость Италии (Австро-Итало-Прусская война).
1867-1918 – Австро-Венгрия.
1867 – поход Гарибальди на Рим.
1868-1874 – V Испанская революция. Свержение королевы Испании Изабеллы II.
1870-1871 – Франко-Германская война.
1870-1871 – IV Французская революция.
1871-1945 – Германская империя.
1871-1918 – II Рейх.
1878 – Берлинский конгресс.