Случайные векторы

Лекция № 13

Тема: Распределение случайного вектора. Независимость случайных величин. Распределение функций от случайных величин

Пожалуй, нет ни одной отрасли математики такой интересной, такой важной, как теория вероятностей. История ее открываеи чудеса, которых может достич математическая наука, и пределы, которые она не может преступить.

Э. Девис

Определение 13.1 Случайным вектором со значениями в называется последовательность действительных случайных величин , , определенных на одном вероятностном пространстве . Величина , называетсяk–ой координатой вектора .

Так как , здесь — –измеримая действительная функция, то , где — функция со значениями в с –измеримыми координатами. Эта функция отображает пространство в . Для каждого множества из положим

.

Для каждого борелевского множества из . Следовательно, определена вероятность .

Пусть

, .

Функция множеств является мерой, причем .

Определение 13.2 Меру , определенную на –алгебре борелевских множеств называютраспределением случайного вектора .

 

Определение 13.3 Функцией распределения случайного вектора или совместной функцией распределения последовательности случайных величин называют функцию: .

Подобно тому, как это было сделано в одномерном случае, для многомерных функций распределения можно установить свойства:

I) суть неубывающая функция по каждому аргументу;

II) — непрерывная слева функция по каждому аргументу;

III) , ;

IV) .

Как мы знаем, в одномерном случае перечисленные свойства являлись необходимыми и достаточными того, чтобы функция была функцией распределения некоторой случайной величины. В многомерном случае необходимо дополнительное условие — условие согласованности.

Введем в рассмотрение конечно–разностный оператор , действующий на функцию следующим образом:

, .

Теорема 13.1. Пусть , , — произвольная функция, удовлетворяющая условиям I, II, III,IV а также V) для любых , тогда существует вероятностное пространство и случайная вектор на нем такой, что функция распределения равна .

Пример 13.1. Покажем, что требование V может быть не выполнено, несмотря на наличием у функции свойств I–IV. Пусть

Не трудно видеть, что эта функция удовлетворяет условиям I–IV, но для нее

И, следовательно, пятое требование не выполнено.