Розклад правильного раціонального дробу у суму елементарних дробів.

Раціональні дроби.

Визначення. Раціональним дробом (дробово-раціональною функцією) називається відношення двох многочленів ). Раціональний дріб називається правильним, якщо степінь чисельника менший степеня знаменника: , і неправильним, якщо .

Кожний неправильний раціональний дріб можна подати у вигляді суми многочлена і правильного раціонального дробу:

, .

Серед правильних раціональних дробів виділяють так звані найпростіші або елементарні.

Визначення. Елементарними раціональними дробами називаються правильні раціональні дроби вигляду:

1. ;

2. , ();

3. , ();

4. , (, ),

- дійсні числа.

Теорема (про розкладання правильного раціонального дробу на елементарні). Нехай знаменник правильного раціонального дробу розкладено на множники

тоді цей дріб можна подати у вигляді:

(4)

де - деякі дійсні числа.

Розклад (4) називається розкладом правильного раціонального дробу на елементарні.

Для знаходження чисел користуються методом порівняння коефіцієнтів. Щоб знайти коефіцієнти у розкладі (4), треба обидві частини рівності (4) помножити на многочлен . Внаслідок цього отримаємо два тотожно рівних многочлени: многочлені многочлен з невідомими коефіцієнтами. Прирівнюючи коефіцієнти цих многочленів при однакових степенях , дістанемо систему лінійних алгебраїчних рівнянь відносно невідомих , з якої і визначимо невідомі коефіцієнти.