Множину розв’язків зображено на рисунку.

Приклад. Знайти розв’язок системи рівнянь

Ø Нехай Приходимо до системи рівнянь

яка має розв’язок:

Нехай Приходимо до системи рівнянь

яка має розв’язок:

10.3. Системи рівнянь із трьома невідомими

1. Екстремум функції кількох змінних. Якщо кількість рівнянь менша за кількість невідомих, то відшукання невідомих пов’язане з відшуканням мінімуму чи максимуму функції кількох змінних.

Приклад. Розв’язати рівняння

Ø Функція має єдиний мінімум у точці (1; 2; 3), і цей мінімум дорівнює нулю. Тому рівняння має розв’язок

Приклад. Розв’язати систему рівнянь

Ø Перші рівняння можна записати у вигляді

З урахуванням другого рівняння

Приклад. Розв’язати систему рівнянь

Ø Перше рівняння помножимо на 2 і віднімемо від другого рів­няння. Дістанемо рівняння

або

Приклад. Розв’язати систему рівнянь

Ø Оскільки , дістаємо рівняння:

Наведемо кілька прикладів розв’язування системи рівнянь за допомогою відшукання екстремуму функції.

Приклад. Розв’язати систему рівнянь

Додавши почленно два останні рівняння, дістанемо рівняння

або

Звідси знаходимо:

Усі невідомі мають один знак, оскільки

З першого рівняння знаходимо розв’язок

Приклад. Розв’язати систему рівнянь

Ø Перемноживши рівняння, дістанемо:

Якщо то маємо розв’язок

Відшукуючи інший розв’язок при дістанемо рівняння

Ліва частина рівняння має мінімум у точці який дорівнює 6. Система має єдиний розв’язок