Умови Коші – Рімана.

Функція є диференційовною в точці тоді та тільки тоді, коли виконуються умови Коші - Рімана

, ,

при цьому

Теорема 5.(умови Коші - Рімана) Функція має похідну в точці тоді та тільки тоді, коли функції мають неперервні частинні похідні в точці (), які задовольняють умовам Коші – Рімана: .

Наслідок 1. Похідну функції можна обчислювати за формулою

Визначення.Функція комплексної змінної називається аналітичною в точці , якщо вона є диференційованою як у самій точці , так й в деякім її околі.

Визначення. Функція комплексної змінної називається аналітичною в області D, якщо вона є аналітичною в кожній точці цієї області. Якщо область D – замкнена, то функція називається аналітичною в D, якщо вона є аналітичною в кожній внутрішній точці D та на її межі.

Наслідок 2. Дійсна та уявна частини аналітичної функції задовольняють рівнянню Лапласа, тобто

Функція u(х,у), яка має неперервні частинні похідні другого порядку в області D і задовольняє рівнянню Лапласа, називається гармонічною в області D. Гармонічні функції u(х, у) та v(х, у) називають спряженими, якщо для них виконуються умови Коші – Рімана.

Теорема 6.Для того, щоб функція була аналітичною в області D, необхідно та достатньо, щоб її дійсна та уявна частини були в цій області спряженими гармонійними функціями.

Наслідок 3. Оскільки , то аналітична функція відновлюється з точністю до константи по її дійсній частині

Приклади.

Відновити аналітичну функцію ƒ(z) в околі точки за відомою уявною частиною і значенням . Розв’язання.

1. Перевіримо, чи виконуються умови теореми 6 і задана функція є гармонійною.

Функція є гармонійною, оскільки задовольняє рівнянню Лапласа. Отже, існує функція .

2. На підставі умов Коші – Рімана доберемо функцію u(х, у), як спряжену до гармонійної функції v(х, у). Далі матимемо:

Інтегруємо першу рівність по змінній х. Знайдемо

де φ(у) довільна функція змінної у.

Після диференціювання отриманої рівності по змінній у матимемо:

Порівнюючи отримані вирази для матимемо:

Остаточно одержимо:

3. Відновимо функцію

Отже, відновлена функція дається формулою .

Знайдемо константу С, використовуючи умову . С = і. Остаточно,