Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции, непрерывной на отрезке
Пусть 
– функция, непрерывная на некотором отрезке 
оси ох (рис. 5)
Ставится задача: указать схему нахождения тех точек отрезка оси ох, в которых функция достигает своего наибольшего значения 
и своего наименьшего значения 
, и найти эти и .
Сразу отметим, что такие точки на отрезке заведомо существуют (это доказано). А вот на интервале 
их может и не быть. То есть на интервале функция своих наибольшего и наименьшего значений может и не иметь. Например, функция 
на отрезке 
свое наименьшее значение 
достигает в точке 
, а свое наибольшее значение 
достигает в точке 
. А вот на интервале 
своих наибольшего и наименьшего значений функция , очевидно, не имеет (не достигает).
Вернемся к рис. 5, на котором изображена произвольная непрерывная на отрезке функция . Здесь достигается функцией на конце a отрезка , а – в точке x1, являющейся одной из точек минимума функции. И вообще, очевидно, что и при любой другой форме графика непрерывной функции наибольшее и наименьшее значения достигаются ею на отрезке или в её точках экстремума, содержащихся на этом отрезке, или на концах отрезка. Отсюда вытекает следующая
схема нахождения и функции на отрезке :
1. Находим производную 
.
2. Находим принадлежащие отрезку точки, подозрительные на экстремум.
3. Не исследуя этих точек, вычисляем значение функции во всех найденных подозрительных точках, а также на концах a и b отрезка . Из всех найденных значений y выбираем и . А заодно и устанавливаем, в каких точках отрезка эти и достигаются.
Пример 3. На отрезке 
найти наибольшее и наименьшее значения функции 
.
Решение. Реализуем изложенную выше схему.
1. Найдем 
:
.
2. Найдем на отрезке 
точки (значения x), подозрительные на экстремум:
а) 
.
б) не существует Þ таких x нет.
На отрезке содержатся лишь две подозрительные на экстремум точки: это 
и 
.
3. Вычисляем значении функции в обеих найденных подозрительных точках, а также на концах отрезка, и выберем из найденных значений функции наибольшее и наименьшее:
; 
; 
; 
Ответ: 
; 
.