Маклорена.

Разложение элементарных функций в ряд Тейлора и

На практике и в теоретических исследованиях часто возникает необходимость в замене некоторой сложной функции , заданной в окрестности некоторой точки , суммой более простых функций. В качестве таких простых функций целесообразно взять степенные функции или , Т.е.

=. (8)

Выясним, каким условиям должна удовлетворять функция , чтобы её можно было представить в виде такого ряда.

Теорема (Необходимое условие разложения функции в степенной ряд)

Для того, чтобы функция была суммой степенного ряда (8) на некотором интервале, содержащем точку , необходимо, чтобы эта функция на данном интервале имела непрерывные производные любого порядка.

Теорема ( о единственности разложения функции в степенной ряд)

Если функция на некотором интервале является суммой степенного ряда, то это разложение единственно.

Опр.	Степенной ряд, полученный в результате разложения функции по степеням разности , называется рядом Тейлора, а коэффициенты этого ряда – коэффициентами Тейлора. =…+ +

В частном случае получается ряд Маклорена

= + + + … + +…+

Теорема (необходимое и достаточные условия разложения в ряды Тейлора)

Для того, чтобы бесконечно дифференцируемая в точку функция являлась суммой составленного для неё ряда Тейлора, , чтобы остаточный член этого ряда

Пример 4 Разложить в ряды Маклорена.

Решение:

===…=…=

===…=…=1

==

Определим область сходимости полученного степенного ряда. Для этого запишем остаточный член в форме Лагранжа:

= , ,

===0=0.

Это имеет место для любого , этот степенной ряд сходится на всей числовой оси.

Пример 5 Разложить , в ряд Маклорена.

Решение:

, ,

, , ,

, , , ,…, , ,

=

Запишем остаточный член этого ряда в форме Лагранжа:

==, .

===

==0.

Этот ряд сходится на всей числовой оси.

- аналогично

Пример 6 Разложить в ряд Маклорена =(биномиальный ряд).

Решение:

, , ,

,…

, , , ,…

=.

=

Это биноминальный ряд. Для определения его области сходимости применим признак Даламбера:

===.

Следовательно, ряд сходится при .