Знакочередующийся ряд.

(5)

где

Необходимый и достаточный признак сходимости Лейбница

Теорема (признак Лейбница)

Если в знакочередующемся ряде (5) абсолютные величины членов ряда убывают: и , то данный ряд сходится, причем его сумма положительна и не превосходит первого члена.

Доказательство:

Рассмотрим частичную сумму ряда (5) с четным числом членов и сгруппируем их попарно:

= = > 0

т.к. абсолютные величины членов ряда убывают, то все разности в скобках положительны, и, и возрастает при , т.е. - монотонно возрастающая.

Перегруппируем члены суммы :

=

сумма в квадратных скобках также положительна и тогда как монотонно возрастающая и ограниченная по признаку Вейерштрасса имеет предел .

Для доказательства сходимости ряда (5) необходимо показать, что последовательность частных сумм ряда для нечетного числа членов также ограничена и имеет тот же предел . Т.к. = , и по условию теоремы = = .

Т.о., последовательность частичных сумм как четного, так и нечетного числа членов ряда имеет один и тот же предел , т.е. . И ряд (5) сходится.

Пример 6. Исследовать сходимость ряда

Решение:

1) т.к.

2)

Ряд сходится по Лейбницу.