Исследование условий формирования модели измерения задачи оценивания измеряемого параметра

Формирование оптимального алфавита классов и словаря признаков в условиях ограничений

Формализация задачи оптимального взаимосвязанного выбора алфавита классов и словаря признаков

Решение задачи повышения эффективности модели измерения путем увеличения размерности вектора признаков осуществляется за счет возрастания числа технических средств измерений, каждое из которых обеспечивает определение одного или группы признаков, что приводит к дополнительным расходам на формирование модели измерения. Поэтому в условиях ограниченных ресурсов на формирование модели измерения только некоторый компромисс между размерами алфавита классов и объемом рабочего словаря признаков обеспечивает решение задачи оптимальным образом. Для обеспечения этого компромисса требуется предварительная формализация задачи, которую начнем с формализации исходных данных. Пусть задано множество объектов или явлений:

W ={w₁, w₂ ,...., w_l}.

Введем множество из r возможных вариантов разбиения этих объектов W на классы (варианты алфавита классов):

A ={A₁, A₂, ..., A_r}.

Таким образом, с учетом возможного отказа от решений в каждом варианте множество объектов W подразделяется на свое число классов:

в варианте A₁ – на (m₁ +1) классов;

в варианте A₂ – на (m₂ +1) классов;

........................................

в варианте A_r – на (m_r +1) классов.

В соответствии с вариантом алфавита классов (A_s) исходные объекты (явления) разбиваются на m_s “решающих” классов

W = {W(1|A_s), W(2|A_s), W(3|A_s), ......., W(m_s|A_s)},

где естественно "1", "2",..... – номера классов; A_s – вариант алфавита классов, s = 1, 2,...., r.

Таким образом, имеется подмножество классифицированных объектов.

Если при этом располагаем априорным словарем признаков

X = {x₁, x₂, ..., x_n},

а размеры указанных подмножеств классифицированных объектов таковы, что соответствующие выборки признаков представительны (в каждом классе достаточное в статистическом смысле число объектов), то тогда тем или иным способом может быть проведено описание каждого из классов на языке этого словаря. В детерминированном случае это достаточно просто. Каждый класс имеет свои эталоны со своими характеристиками как наборами параметров, представляющие собой выбираемые признаки:

X_ik [W(j|A_s)],

где i = – число признаков измерения; j = – число классов; k = – число эталонов в j-м классе.

При статистическом подходе описание – это априорные вероятности классов P[W(i|A_s )] или функции условных плотностей распределения вероятностей f{W(i|A_s)]}. Если же объем выборок объектов по подмножествам недостаточен для непосредственного описания классов, то эти описания могут быть получены с помощью процедуры обучения. Наличие описаний классов уже позволяет определять решающие правила (решающие границы), использование которых обеспечивает минимизацию ошибок при выборе неизвестных объектов.

Если бы не было ограничений на величину ресурсов используемых при создании измерительных средств определения признаков, то можно было бы считать, что как алфавит классов, так и словарь признаков определены и можно приступать к построению устройства формирования. Однако реально при создании сложных систем нельзя обойтись без указанных ограничений. При этом данные ограничения не обязательно финансовые. Достаточно часто в качестве таковых могут выступать ограничения на быстродействие, память и т.п.

В условиях ограничений на создание или использование средств измерений (а равно – средств получения признаков измерения) оказывается естественной невозможностью использования всех признаков. Поэтому для формирования рабочего словаря признаков вводится вектор, совпадающий по мощности с вектором признаков X

={v₁, v₂ ,..., v_n},

компоненты которого v_j равны 1, если данный признак априорного словаря используется в рабочем и 0 в противном случае. Этот вектор носит название вектора отбора.

Располагая стоимостями измерения каждого j-го признака С_j, имеем общие затраты на реализацию априорного словаря признаков:

С_апр =.

Для рабочего словаря будем иметь

С_раб =.

При наличии конкретной величины ассигнованных ресурсов C₀ на создание устройства формирования ограничения, о которых идет речь, формализуются в виде следующего неравенства:

С₀ ³.

Если в конечном итоге интересоваться вектором отбора, то возникает следующая экстремальная задача: в пределах выделенных ассигнований на формирование модели контролируемого объекта (C₀) необходимо найти такое пространство признаков, при котором обеспечивается максимальное значение некоторого критерия эффективности модели.

Выбираемый показатель эффективности должен удовлетворять следующим требованиям: характеризовать систему как единое целое, обеспечивать возможность получения количественной оценки с требуемой достоверностью, а область его изменения должна иметь четко очерченные границы.

В качестве критерия функционирования устройства формирования целесообразно выбрать вероятность правильного формирования модели объекта контроля. Однако такой выбор несколько расходится с пониманием цели создания устройства формирования – выработкой управляющих решений. Поэтому и критерий должен характеризовать выигрыш, достигаемый от принятия решения как ответных действий на формирования.

Составляющими такого выигрыша от использования модели являются частные выигрыши от отнесения неизвестного объекта к тому или иному классу.

Обозначим такую составляющую в i-м классе s-го варианта алфавита классов так:

G_s[W(i|A_s)].

Принимая во внимание зависимость выигрыша от ряда случайных факторов измерения, в качестве оценки эффективности необходимо использовать единый показатель, получаемый как математическое ожидание составляющих:

,

где – апостериорная вероятность правильного отнесения объекта к W_i -му классу.

Теперь сформулированная задача может быть формализована следующим образом:

при C₀ ³.

Здесь A₀, v₀ – искомое решение, обеспечивающее выбор варианта разбиения на классы (алфавит классов) и определения рабочего словаря признаков.

Таким образом, общая постановка проблемы формирования модели объекта контроля или явлений заключается в определении оптимального алфавита классов и рабочего словаря признаков при наилучшем решающем правиле в условиях ограничений на построение системы измерений признаков измерения.

Контрольные вопросы

1. В чем сущность принципов построения модели измерения задачи оценивания контролируемого параметра?

2. Какие этапы решения характерны для задачи формирования модели измерения?

3. Какие критерии близости переменных могут быть использованы при формировании модели измерения и их сущности?

4. Как можно преобразовать переменные модели измерения?

5. Каковы пути оптимизации алфавита классов и словаря признаков?

ГЛАВА 5. ФОРМИРОВАНИЕ МОДЕЛИ ИЗМЕРЕНИЯ В ЗАДАЧЕ ОЦЕНИВАНИЯ ПАРАМЕТРА ПО ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫМ ДАННЫМ НА НАЧАЛЬНОМ ЭТАПЕ РАЗРАБОТКИ НОВОГО ЭЛЕКТРООБОРУДОВАНИЯ

Общий анализ задачи формирования модели измерения, приведенный в §4.1, показал специфичность начального этапа формирования модели измерения в условиях минимальной априорной информации. Для решения задачи формирования модели измерения при оценивании измеряемого параметра необходимо выделить общее объективное свойство, характерное модели измерения и позволяющее идентифицировать ее признаки. Данное объективное свойство моделей не должно зависеть от природы признаков, а должно определять лишь их склонность к разделимости. Определение данного объективного свойства моделей позволит наряду с классической задачей обучения распознаванию, с использованием информации о принадлежности каждого объекта из обучающей последовательности тому или иному образу, поставить задачу обучения без учителя.

Если предположить, что результаты измерения, входящие в область значений пространства признаков, формируются исходя из искомой модели измерения, то можно принять, что задание пространства признаков само по себе задает свойство, под действием которого область значений модели измерения в этом пространстве легко разделяется, т.е. взаимное расположение точек в выбранном пространстве уже содержит информацию о том, как следует разделить это множество. Эта информация и определяет то объективное свойство разделимости переменных синтезируемой модели измерения, которое оказывается достаточным для ее формирования. Данное условие формирования модели измерения можно сформулировать в виде гипотезы компактности, которая гласит: модели измерения соответствуют компактные множества, составляющие область ее значений в пространстве признаков.

Поскольку координаты пространства, образованного результатами измерений, являются случайными величинами, то и признаки моделей измерения по результатам наблюдения в нем будут распределены случайно. В этом абстрактном пространстве почти наверняка будут существовать компактные множества точек. Поэтому в соответствии с гипотезой компактности множества моделей, которым в абстрактном пространстве соответствуют компактные множества точек, разумно назвать абстрактными моделями данного пространства в отличие от реальной модели измерения. При этом выбор исходного описания элементов является одной из центральных задач проблемы формирования модели. При удачном выборе исходного описания пространства признаков задача формирования может оказаться тривиальной и, наоборот, неудачно выбранное исходное описание может привести либо к очень сложной дальнейшей переработке информации, либо вообще к отсутствию решения. Однако это не снижает, а иногда и повышает ценность алгоритмов формирования, так как часто сами модели заранее никем не определены, а задача состоит в том, чтобы определить, какие подмножества области значений в заданном пространстве представляют собой модели, т.е. алгоритм самоформирования модели характеризует пригодность выбранного пространства для конкретной задачи оценивания результатов измерения.

Таким образом, способность восприятия внешнего мира в форме моделей позволяет с определенной достоверностью идентифицировать бесконечное число моделей измерения по конечному числу результатов измерения, а объективный характер основного свойства моделей позволяет моделировать процесс их формирования.