Переход к пределу в неравенствах.
Лекция 5. Переход к пределу в неравенствах. Ограниченность сходящихся последовательностей. Бесконечно малые последовательности.
В 1848 г. революции в Европе заставили Николая встать на путь реакции, отказаться от планов изменения положении крепостных крестьян.
Николаевская эпоха увенчалась полным провалом попыток стабилизировать самодержавие. Фактическую черту под николаевскую систему подвели смерть Николая I (в феврале 1855 г.) и поражение в Крымской войне, которая закончилась полной катастрофой для России. Крымская войны 1853-1856 гг. – этот русско-турецкая война за господство на Ближнем Востоке.
Сформулируем докажем три часто используемые свойства пределов последовательностей точек расширенной числовой прямой, связанные с равенствами и неравенствами для членов последовательностей.
1. Если для всех n=1; 2; … имеет место равенство 
то 
.
Д-во. Действительно, в этом случае для любой окрестности 
точки а в качестве номера 
, указанного в определении предела последовательности, можно взять 
, так как для всех n=1; 2; … имеет место включение 
.
2.
 |
Если
, 
, 
, 
, n=1, 2, …, и 
, то
|
Д-во. Зафиксируем произвольно окрестность
точки а. В силу условия о равенстве пределов существует такой номер n1, что для всех номеров n>n1 выполняется включение 
, и такой номер n2, , что для всех номеров n>n2 выполняется включение 
. Положим 
. Тогда при n>n0 будут одновременно выполняться включения и , а следовательно, 
. Но в силу условия () 
, поэтому для всех n>n0 будет выполняться включение 
, а это и означает, что
Следствие. Если 
,, , n=1, 2, …, и 
, то 
, а если 
,то 
.
Д-во. Пусть выполнено условие . Рассмотрим вспомогательную последовательность 
Тогда, очевидно, для последовательностей {xn}, {yn}, {zn} выполняются условия свойства 2 при 
, а поэтому имеет место равенство . Аналогично рассматривается и случай .■
3. Если , , n=1, 2, …,, 
, и 
, то существует такой номер n0, что для всех номеров n>n0 выполняется неравенство 
.
Д-во. Пусть 
и 
- какие-либо непересекающиеся окрестности точек a b, тогда из условия a<b следует, что для любого 
и 
выполняется неравенство x<y.
В силу условий существует номерn0 такой,что для всех номеров n>n0 выполняются включения 
. А так как x<y выполняется неравенство .■
Следствие 1. Пусть a, b и xn принадлежат расширенной числовой прямой. Если и a<b (a>b), то существует такой номер n0, что для всех номеров n>n0 выполняется неравенство xn<b (соответственно xn>b).
Д-во. Пусть a<b Рассмотрим вспомогательную последовательность yn=b. Тогда для последовательностей {xn} и {yn} выполняются условия свойства 3, а это означает выполнение неравенства xn<b. Аналогично рассматривается случай a>b.■
Следствие 2. Если , , n=1, 2, …,, , 
,и для всех номеров n выполняется неравенство 
, то 
.
Д-во. Пусть . Если бы оказалось, что a<b, согласно свойству 3 нашелся бы такой номер n0, что для всех n>n0 выполнялось бы неравенство xn<yn , что противоречит условию. Следовательно, выполняется неравенство .■
В частности, если
, n=1, 2, …,, то имеет место неравенство .
Действительно, если взять вспомогательную последовательность yn=b, n=1, 2, … , тодля последовательностей {xn} и {yn} выполняются условия следствия 2, т.е. ,
, и длявсехномеров n=1, 2,… выполняются неравенства 
. Поэтому согласно следствию 2 имеем .■
Пример.