Степенные ряды

Помимо числовых рядов, существуют ряды функциональные, когда членами ряда являются некоторые функции. Общий вид такого ряда

(10.7)

Любое значение переменной, при котором полученный числовой ряд сходится, называется точкой сходимости. Множество всех точек сходимости образует область сходимости функционального ряда. Из всего разнообразия функциональных рядов рассмотрим степенные ряды, занимающие в теории рядов важное место.

Степенным рядом называется ряд вида

(10.8)

Членами ряда являются степенные функции с возрастающими целыми положительными показателями степени переменной х, - свободный член,

- постоянные коэффициенты. Например,

Очевидно, что степенной ряд сходится при х=0, тогда его сумма равна свободному члену. При других значениях х степенной ряд может оказаться как сходящимся, так и расходящимся. Вопрос о сходимости степенного ряда решается теоремой Абеля (Н.Г. Абель, 1802-1829, норвежский математик):

Если степенной ряд сходится при некотором значении , то он сходится абсолютно при всех значениях |и расходится при всех .

Из теоремы Абеля следует, что степенной ряд сходится во всех точках некоторого интервала . А если он сходится и при некотором , то он сходится во всех точках интервала и так далее. Очевидно, что для любого степенного ряда существует интервал , симметричный относительно начала координат, для всех точек которого ряд сходится. Он называется интервалом сходимости, а число - радиусом сходимости степенного ряда.