Поперечные волны на дискретной струне. Явление дисперсии. Фазовая и групповая скорость волн.

Поперечные волны на границе раздела струн. Стоячие волны на струне.

Поперечные волны на границе раздела двух струн.

На границе раздела двух сред волны отражаются и преломляются.

:

1.

2.

(1)

(2)

 

- коэффициент прошедшей волны.

- коэффициент отраженной волны.

Домножим (1) на k и вычтем из (1) (2)

(3)

Домножим (1) на k и прибавим (1) к (2)

домножим 3 на =>

=>

=>

 

1) =>

2) =>

Отраженная волна имеет ту же амплитуду, что и падающая. Волны будут противофазными.

3) =>


Стоячие волны на струне.

Это частный случай явления интерференции волн.

Интерференция волн – перераспределение энергии в пространстве связанное со сложением нескольких когерентных волн.

У когерентных волн одинаковые частоты колебаний и неменяющиеся со временем разности фаз.

Если по струне распространяется волна то результирующий волновой процесс есть сумма прямой и отраженной волны.

Если - пряма волна то - обратная волна.

- уравнение стоячей волны для поперечных волн на струне.

 

Воспользуемся граничными условиями.

- условие существования стоячей волны.

Стоячие волны могут существовать на струне <=> когда на струне укладывается целое число .

 

Вещество, в том числе и струна, это среда дискретная, в конечном счете она состоит из атомов. Если струна непрерывна, то на ней могут существовать волны любой длины.

 

Масса шариков одинакова и располагаются они одинаково Þдискретная струна характеризуется двумя параметрами: массой и периодом.

lmin=2a

гармоническая волна

 

 

Если среда дискретная, то в ней наблюдается дисперсия волн, которая выражается в том, что w(k)!=Vф. Vф!=const, k – не линейная функция.

Применяем второй закон Ньютона для участка струны.

 

- (*) волновое уравнение для дискретной струны

имеет дифференционно-разностную природу.

yn(t)=Aei(wt-kx)=Aei(wt-kna)

(**)

сделав подстановку (**) в (*), получили:

на величину циклической частоты накладывается ограничение.

à

à

Максимальное значение частоты представляет собой собственную частоту противофазных колебаний соответствующих самой

маленькой длине волны.

Þ ,

1)Низкие частоты: w->0, k->0

 

фазовая скорость для непрерывной струны, где .

Изломы не играют роли (системы не ощущает своей дискретности)

непрерывной струны.

2) высокие частоты : w->, k->

низкие частоты. ÞВолновой пакет при такой волне будет деформироваться. Волны с низкой частотой будут распространяться с «обычной » скоростью. Волны с высокой частотой будут распространяться более медленно.

переноса энергии нет. à стоячая волна.

Если система дискретна, она ведет себя как дискретная струна. Такие системы характеризует дисперсия.