Метод Эйлера

Одношаговые методы решения задачи Коши

Простейшими численными методами для решения задачи Коши для ОДУ являются следующие методы.

Этот метод основан на разложении искомой функции Y(x) в ряд Тейлора в окрестностях узлов системы x = x_i (i = 0, 1, 2, …, n), в котором отбрасываются все члены, содержащие производные второго и более высоких порядков. Как правило, используется равномерная сетка Dx = x_i+1 – x_i = h = const (i = ). Разложение запишем в виде

. (13)

Заменяя значение функции Y(x) в узлах сетки x_i значениями сеточной функции и используя уравнение (4), получим

.

Тогда из (13) получим

. (14)

При i = 0, для узла x = x₁: .

Далее по алгоритму (14)

;

. . .

.

Геометрическая интерпретация имеет вид:

На рисунке линия «0» – точное решение, линии «1» и «2» – приближенные решения.

Искомая интегральная кривая y(x), проходящая через точку (x₀, y₀), заменяется ломаной с вершинами в точках (x_i, y_i). Каждое звено ломаной имеет направление, совпадающее с направлением интегральной кривой (4), которая проходит через точку (x_i, y_i).

Блок-схема алгоритма будет иметь следующий вид:

Вывод полученных результатов выполняется на каждом шаге, но если необходимо сохранить результаты, то следует ввести массив значений y₀, y₁, ..., y_n.

Локальная погрешность метода Эйлера, как видно из (13), оценивается, как О(h²). Весь интервал [a, b] разбивается на n частей, тогда общая погрешность

n О(h²) = О(h²) = О(h) – 1-й порядок.

Для оценки погрешности при машинном расчете пользуются двойным просчетом, т.е. на отрезке [x_i, x_i+1] расчет повторяют с шагом h/2 и погрешность более точного решения у^*_i+1 (при шаге h_i/2) оценивается как разность .