Метод Зейделя

Данный метод является модификацией метода простой итерации и для системы (25) имеет следующую технологию

(32)

Суть его состоит в том, что при вычислении очередного приближения в системе (32) и в формуле (27*), если имеет место соотношение (27), вместо используются уже вычисленные ранее , т.е. (27*) преобразуется к виду

, i = 1, …, n. (33)

Это позволяет ускорить сходимость итераций почти в два раза. Оценка точности аналогична методу простой итерации. Схема алгоритма аналогична схеме метода простой итерации, если x0j заменить на xj и убрать строки x0i = 1, x0i = xi.

Пример. Методом Зейделя решить систему линейных уравнений с точностью e = 0,0001, приводя ее к виду, удобному для итераций.

(34)

Условия (27) для системы не удовлетворяются, поэтому приведем ее к виду соответствующему данному требованию.

(35)

Здесь , значит, процесс Зейделя сходится.

По технологии счета (32)


 

k х1 х2 х3 k х1 х2 х3
0.19 0.97 –0.14 0.2467 1.1135 –0.2237
0.2207 1.0703 –0.1915 0.2472 1.1143 –0.2241
0.2354 1.0988 –0.2118 0.2474 1.1145 –0.2243
0.2424 1.1088 –0.2196 0.2475 1.1145 –0.2243
0.2454 1.1124 –0.2226        

Ответ: x1 = 0.248; x2 = 1.115; x3 = –0.224.

Замечание. Если для одной и той же системы методы простой итерации и Зейделя сходятся, то метод Зейделя предпочтительнее. Однако на практике имеет место ситуация, когда области сходимости этих методов могут быть различными, т.е. метод простой итерации сходится, а метод Зейделя расходится и наоборот. Для обоих методов, если близка к единице, скорость сходимости очень малая.

Для ускорения сходимости тогда используется искусственный прием – так называемый метод релаксации. Суть его заключается в том, что полученное по методу итерации очередное значение пересчитывается по формуле:

(36)

w – как правило, принято изменять в пределах 0 < w £ 2 с каким-то шагом (можно h = 0,1 или 0,2). Параметр w подбирают так, чтобы сходимость метода достигалась за минимальное число итераций.

Релаксация – (физ.тех.) постепенное ослабление какого-либо состояния тела после прекращения действия факторов вызвавших это состояние.

Пример. Рассмотрим результат пятой итерации с применением формулы релаксации. Возьмем w = 1,5.

Как видно мы получили почти результат седьмой итерации.