Предел числовой функции

.

Таким образом, в конечном итоге каждому значению ставится в соответствие ( посредством промежуточной переменной ) одно определенное значение , где — множеством значений функции .

В этом случае называют сложной функцией аргумента или функцией от функции ( записывают ) или композицией функций и (записывают ). При этом функцию называют промежуточным аргументом, — независимой переменной.

Например, функция является сложной. Ее можно записать в виде цепочки равенств:

, .

Аналогично можно составить сложную функцию с двумя и более промежуточными аргументами. являющуюся композицией более трех функций.

Конечный предел функции при . Пусть функция определена в проколотой окрестности точки , т. е. на множестве . В точке значение может быть не определено.

Дадим определение конечного предела функции при на языке «— » (по Коши).

Определение. Число называется пределом функции в точке (или при ), если для >0 можно указать такое число ()>0, что при всех , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство , или, в более краткой записи:

В определении используются понятия -окрестности и проколотой -окрестности, поэтому его и называют определением на языке «— » и кратко записывают так:

Геометрическая интерпретация определения конечного предела функции по Коши дана на рисунке.

Из рисунка видно, что отображается функцией в , т. е. любому из проколотой -окрестности точки соответствует значение , попадающее в -окрестность точки .

Односторонние пределы функции. При рассмотрении конечного предела функции при предполагалось, что точка , прибли­жаясь к , могла оставаться как слева, так и справа от нее.

Иногда приходится рассматривать предел функции при усло­вии, что точка , приближаясь к точке , остается либо правее, либо левее ее.

Введем понятие левой и правой окрестностей точки .

Определение. Левой -окрестностью точки (обозначается ) назы­вается множество всех , удовлетворяющих неравенству

0b

Т.е. = {| 0b

Проколотая левая -окрестность получается «выкалы­ванием» из -окрестности точки ,

= {| 0<

Аналогично определяется и правая -окрестность.

Определение. Число называется левым пределом (левосторонним пределом или пределом слева) функции в точке , если для любого > 0 существует =()>0, такое, что для

Обозначают предел слева .

Аналогично определяется правый предел функции в точке .

Замечание. Если в точке функция имеет конечные правый и левый пределы и они равны между собой, то это число является пределом функции в точке :

===.

Конечный предел функции при¥.

Определение. Число называется пределом функции при +¥ , если для любого >0 существует положи­тельное число , такое, что неравенство выполняется для всех , при которых >.

Аналогично определяетcя предел и при –¥

Множество {|>} = (+¥) называют -окрестностью беско­нечно удаленной точки.

Бесконечные пределы функции при. Рассмотрим случай, когда функция при по абсолютной величине неогра­ниченно возрастает. Такая функция не имеет конечного предела, поэтому необходимо обобщить понятие предела функции.

Определение.Предел функции при назы­вается бесконечным, если для лю­бого положительного числа >0 су­ществует число > 0, такое, что для всех значений , удовлетво­ряющих неравенству , будет выполняться не­равенство || > .

Если стремится к беско­нечности при , то ее называют бесконечно большой функци­ей и пишут

=¥

Если стремится к бесконечности при и при этом принимает только положительные или только отрицательные значения, пишут соответственно:

=+¥ или =–¥

Бесконечный предел функции при¥.

Определение.Предел функции при +¥ (или –¥) называется бесконечным, если для любого сколь угодно большого числа найдется такое число > 0, что нера­венство || >выполняется для любого , для которого || >:

=¥ .