Лекція 2

9.1.4. Апроксимація нелінійної характеристики степеневим рядом

Нехай функцію f(x), що дає аналітичне представлення характеристики нелінійного елемента, неперервну разом зі своїми похідними, можна розкласти в ряд Маклорена

Тоді часто (наприклад, при двопівперіодному детектуванні) нелінійна характеристика f(x) апроксимується многочленом

коефіцієнти якого повинні бути дорівнюють відповідним коефіцієнтам ряду (9.3). При такій апроксимації неважко визначити коефіцієнти :

.

Практично сума по k буде містити лише невелике число членів. Коефіцієнти , починаючи з якогось , звертаються в нуль.

Інтеграл легко обчислюється, якщо представити підінтегральну функцію як похідну по параметру S. Тоді

.

Зазначимо, що .

- момент -го порядку нормального розподілу з одиничною дисперсією і нульовим середнім.

Виконуючи диференціювання по S і використовуючи формулу для обчислення центральних моментів , знаходимо

.

Ця формула застосовна до знаходження . Інші при знаходяться диференціюванням.

.

Усереднимо добутки за часом.

Позначимо

Знаходимо кореляційну функцію процесу на виході нелінійної системи

Дискретній частини спектра відповідають (у змісті перетворення Фур'є) члени при n=0, неперервній частині – члени при n>0.

Якщо детермінована частина гаусівського процесу на вході системи відсутня, то одержуємо

Запишемо декілька перших членів, не беручи до уваги члени при n>5;

(9.4)

Перший член характеризує потужність постійної складової, другий відповідає неспотвореному відтворенню вхідного спектра на виході нелінійної системи, а наступні члени описують продукти нелінійних спотворень цього спектра другого, третього і більш високих порядків.

9.1.5. Квадратичний детектор

Використовуємо загальне співвідношення (9.4) для аналізу енергетичних характеристик випадкового процесу на виході квадратичного детектора, коли на його вхід діє гаусівський випадковий процес (детермінований сигнал + гаусівський стаціонарний шум).

Характеристика квадратичного детектора

при

.

Позначимо - середня потужність детермінованої частини процесу,

- часові кореляційні функції процесу .

Застосувавши введені позначення можна записати вираз усередненої кореляційної функції випадкового процесу, отриманого в результаті квадратичного перетворення:

Фізичне трактування доданків: перший відповідає потужності постійної складовий, другий – дискретній частині спектра, останні два – неперервній частині спектра.

Постійна складова створюється як детермінованою, так і випадковою частиною процесу на вході, причому частка постійної складової від детермінованої дорівнює , частка від випадкової частини - .

Дискретний спектр після квадратичного перетворення відтворює спектр квадрата детермінованої складової вхідного процесу. Неперервний спектр після квадратичного перетворення містить комбінаційні гармоніки від взаємних биттів компонентів випадкової частини і компонентів детермінованої і випадкової частин . При квадратичному детектуванні стаціонарного центрованого гаусівського процесу з кореляційною функцією відповідно до (9.5) кореляційна функція процесу на виході детектора причому середнє і дисперсія процесу на виході , а нормована кореляційна функція .

9.1.6. Двопівперіодне квадратичне детектування суми амплітудно-модульованого сигналу і гаусівського шуму

Припустимо, що детермінована частина гаусівського процесу являє собою амплітудно-модульований сигнал

.

Причому найвища гармоніка в спектрі обвідної набагато менша несучої .

Припустимо, що стаціонарний доданок гаусівського процесу представляє шум, спектр якого зосереджений у відносно вузькій смузі біля . Очевидно, що для відновлення низькочастотної обвідної з радіосигналу детектор, крім нелінійного елемента повинний містити фільтруючий елемент, що виділяє низькочастотні і придушує високочастотні компоненти.

З врахуванням вузькосмуговості сигналу знаходимо:

- середня потужність модулюючого сигналу

- часова кореляційна функція модулюючого сигналу

так як одержуємо

При відсутності сигналу

На відміну від лінійного детектора для якого вихідна кореляційна функція шумів виражається нескінченним рядом по ступенях , кореляційна функція шумів на виході квадратичного детектора не містить степеня вище другої.