Стійкість СЛАР
Обумовленість с-ми лінійних рівнянь
Обчислення обернених матриць
Обчислення визначника
Одночасно з розв’язанням системи при застосуванні методу Гаусса шукають визначник матриці А.
; ,
- кількість перестановок рядків при відшуканні матриці L. Якщо ж матриця А є виродженою, тоді при використанні методу Гаусса на деякім k – кроці з вибором елемента у стовпці всі елементи k – го стовпця що знаходиться нижче головної діагоналі і на головній діагоналі будуть = 0.
Тоді при застосуванні методу Гаусса повинна виконуватись перевірка
1. Якщо хоча б один з цих елементів 0, то система може бути розв’язана методом Гаусса;
2. Якщо всі = 0, тоді розв’язання за методом Гаусса припиняється.
Відшукання обернених матриць еквівалентне розвязку рівняння (1)
(1)
(2)
Введем позначення
Розв’язання системи (2) еквівалентне розв’язанню m-систем (3)
При розвязанні кожної такої системи ми одержимо відповідний стовпець шуканої матриці.
Під коректністю будемо розуміти, що розвязок поставленої задачі існує, він єдиний і неперервно залежить від початкових умов.
Будемо досліджувати с-му . Задача буде корректно поставлена, коли матриця невироджена. Для встановлення неперервної залежності треба виділити:
1. Що є вхідними даними для даної задачі;
2. В якому сенсі розрізняти цю неперервну залежність.
Вхідними для даної задачі є будемо розрізняти стійкість у правій частині, коли матриця А є незмінна і вектор має деякі зміни(збурення).
Стійкість коефіцієнта : коли - незмінний, змінні коефіцієнти матриці А.
Дослідимо стійкість у правій частині, коли -збурений. Зазвичай для задач які виникають із життя вектор не завжди можна точно отримати, тоді дивимось, яка неперервна залежність вхідних даних .
Для визначеня неперервної залежності введемо поняття норми для m-вимірних векторів. Простір називається нормованим, якщо кожному ставиться у відповідність деяке дійсне число, яке називається нормою і має задовольняти аксіомам норми:
1. ;
2.
3.
Найчастіше вживані норми:
;
;
;
Нормою матриці наз. Таке число яка підпорядкована вектору x.
Матрична норма – максимум:
Властивості норми матриці:
1.
2.
3. ;
4.
(3) - система яка отримана з системи (1) зазнавши змін в правій частині.
Розв’язок буде називатися стійким, якщо для (4) , де і ця стала незалежить від правих частин, тоді нерівність (4) буде виражати факт неперервної залежності розвязку від правої частини, тобто якщо то .
Якщо , то с-ма (1) буде стійкою по правій частині. Із р-нянь (1) і (3) можемо записати с-му для похибок (5)
(6)
нерівність (6) еквівалентна (4)
нерівність (6) показує стійкість системи із матрицею відносно збурень правої частини. Відмітимо, чим ближче до нуля тим більш точною є М1 і тим сильніша похибка правої частини може впливати на розвязок.