Примеры обработки результатов косвенных измерений

Пример 1 – определение общего сопротивления и погрешности последовательного соединения резисторов

Ø В результате измерений с 10 наблюдениями получено:

 

Характеристика i
Ri, Ом 100,00 10,00 1,00
, Ом 0,03 0,02 0,01
, Ом 0,01 0,01 0,01

Известно, что результаты измерений независимы

  1. Вычислить результат косвенного измерения

 
 

 


  1. Вычислить оценку СКО результата косвенного измерения

       
 
   
 

 


  1. Вычислить число степеней свободы

 

 

           
   
 
 
 
   

 


  1. Вычислить доверительные границы случайной составляющей погрешности результата косвенного измерения
  2. Вычислить доверительные границы неисключенной систематической составляющей погрешности результата косвенного измерения

 

  1. Вычислить доверительные границы погрешности результата косвенного измерения

 

Ø Пример 2 – измерение плотности твёрдого тела r=m/V.

Ø Измерение массы тела проведено методом гидростатического взвешивания с применением набора гирь, пределы погрешности которых ±0,01 мг.

Ø Результаты измерений массы в мг: 252,9191; 252,9133; 252,9151; 252,9130; 252,9109; 252,9094; 252,9113; 252,9115; 252,9119; 252,9115; 252,9118.

Ø Измерение объёма тела также проведено методом гидростатического взвешивания с применением того же набора гирь.

Ø Результаты измерений объёма в см3: 195,3799; 195,3830; 195,3790; 195,3819; 195,3795; 195,3788; 195,3792; 195,3794; 195,3791; 195,3791; 195,3794.

i  
252,9119 -1 195,3799 -1
-8 -248
-11 -3
-26 -10
-7 -6
-5 -4
-1 -7
-7 -35
-2 -4
S 2782,032   2149,178  

 

 

Ø Различие между результатами наблюдений объясняется случайной погрешностью весов, которая превышает систематические погрешности, обусловленные погрешностями гирь, что ими можно пренебречь.

Ø Вычислим средние арифметические результатов измерений массы и объёма с многократными наблюдениями

 

Ø Вычислим дисперсии и СКО случайной составляющей погрешности

 

     
 
 
 

 

 


Ø Проверим результаты измерений на промахи

 

 
 

 

 


Ø Следовательно, в результатах наблюдений промахи отсутствуют.

Ø Вычислим результат косвенного измерения

 

 
 


Ø или

 

Ø Вычислим оценку коэффициента корреляции

 

 

Ø Проверим значимость коэффициента корреляции

 

Ø Следовательно, корреляцией в измерениях массы и объёма можно пренебречь, т.к.

 

 

Ø Для вычисления оценки СКО результата косвенного измерения

 

 

Ø вычислим частные производные

 

Ø Вычислим оценки частных производных в окрестности точки 1294,463 кг/м3

 

 
 

 


Ø Вычислим оценку СКО результата косвенного измерения

 

 
 

 


Ø Для вычисления остаточного члена ряда Тейлора

 

Ø вычислим частные производные

 

 
 

 

 


Ø Вычислим оценки частных производных в окрестности точки 1294,463 кг/м3

       
   

 


Ø Вычислим остаточный член ряда Тейлора

 

Ø В качестве Dm и DV используем наибольшие отклонения результатов наблюдений от оценок средних значений. Примечание – поскольку погрешности случайные, то знак погрешности не следует фиксировать!

 

 
 


Ø Откуда

Ø Проверим значимость остаточного члена ряда Тейлора

 

Ø Следовательно, применять линеаризацию допустимо.

Ø Для вычисления доверительных границ случайной составляющей погрешности определим число степеней свободы

 

               
   
 
   
 
 
 
   

 


Ø Вычислим доверительные границы случайной составляющей погрешности

 

Ø Поскольку систематические составляющие погрешности измерений массы и объёма пренебрежимо малы, то и систематическая составляющая погрешности измерений плотности также пренебрежимо мала.

Ø Таким образом, результат измерений плотности с доверительной вероятностью 0,95 находится в интервале