QR – разложения.

Нахождение всех l у матрицы при помощи

Первоначально матрицы надо привести к виду Хессенберга. После этого можно запускать итерационный процесс.

-- раскладываем

-- перемножаем

-- раскладываем

-- перемножаем

…

Делаем, пока сумма квадратов элементов на диагонали не станет значительно больше суммы квадратов элементов под диагональю; либо пока матрица не перестаёт меняться (этот второй критерий используется, если есть комплексно-сопряжённые l).

Свойства метода.

Свойства итерационной последовательности (А_(i)).

1) В пределе получается верхне-блочнотреугольная матрица, в которой на диагонали стоят l в порядке убывания, а блоки 2*2 соответствуют комплексно-сопряжённым l.

2) Если исходная была симметричная матрица (при действительных l), то получится диагональная матрица, если не симметричная, то треугольная.

Скорость сходимости определяется тем, как стремятся к нулю недиагональные элементы:

Все поддиагональные элементы на каждом шаге уменьшаются, что приводит к уменьшению суммы квадратов элементов под диагональю.