Решетчатые функции.

D- И Z- ПРЕОБРАЗОВАНИЯ.

РЕШЕТЧАТЫЕ ФУНКЦИИ.

ЛЕКЦИЯ 15

План лекции

1. Решетчатые функции.

2. Конечная разность, конечная сумма.

3. Разностные уравнения.

4. Линейные разностные уравнения.

Наряду с функциями f(t), заданными в каждой точке числовой оси t, рассмотрим функции, заданные лишь в некоторых точках Такие функции называются решетчатыми. Обычно решетчатые функции задают в равноотстоящих точках t = nT, где n – любое целое число, T = const, называемая периодом дискретности.

. Функция при фиксированном также является решетчатой, и называется смещенной.

Строго говоря, решетчатые функции являются функциями аргумента n, где n пробегает значений целых чисел, поэтому решетчатая функция обозначается также

Для решетчатой функции вводятся понятия конечная разность, конечная сумма, которые в некотором смысле аналогичны понятиям интеграла и производной для обычных функций.

- называется конечной разностью 1-го порядка функции

Конечной разностью 2-го порядка функции называется конечной разностью 1-го порядка функции

.

Аналогично, конечной разностью - го порядка функции называется

.

Конечную разность любого порядка можно определить через значение функции

.

Справедлива формула

здесь - число сочетаний.

Функция F(n) называется первообразной функции f(n), если конечная разность

В дальнейшем будем рассматривать решетчатые функции f(n), определяемые только для положительных n = 0,1,2,… . Для таких n

.

- конечная сумма.