Применение производных для вычисления пределов функций

(правило Лопиталя)

Вопросы отыскания пределов функций уже рассматривались выше. В данном параграфе речь пойдет об очень важном и практически удобном способе отыскания пределов отношений двух бесконечно малых или двух бесконечно больших функций при помощи производных. Этот способ называют правилом Лопиталя, т.к. оно впервые было опубликовано именно в книге французского математика Гильома де Лопиталя, хотя само открытие этого правила принадлежит Иоганну Бернулли.

Раскрытие неопределенностей вида и

Теорема 6.5. (правило Лопиталя для неопределенности ). Пусть функции и непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки и в самой этой точке равны нулю, т.е. . Если в окрестности точки , тогда справедливо равенство

(6.9)

если предел в правой части этого равенства существует.

Доказательство: применим теорему Коши для функций и и отрезка , лежащего в окрестности точки . По этой теореме найдется такая точка , для которой выполнено равенство:

Но, по условию , тогда

Пусть , тогда величина также будет стремится к . Перейдем в последнем равенстве к пределу, получим:

Теорема доказана.

Следствие 1. Теорема верна и в том случае, когда . Действительно, положим , получим

Следствие 2. Теорема верна и в том случае, когда функции и не определены в точке , но существуют пределы и .

Пример 6.19. Пользуясь правилом Лопиталя, вычислить

Решение.

Замечание. При применении правила Лопиталя следует обратить внимание на то, что в правой части формулы (6.9) берется не производная отношения функции, а отношение производных двух функций.

Теорема 6.6. (правило Лопиталя для неопределенности ). Пусть функции и непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки , кроме, быть может, самой этой точки. Если в окрестности точки и , тогда справедливо равенство

(6.10)

если предел в правой части этого равенства существует.

Пример 6.21. Пользуясь правилом Лопиталя, вычислить

Решение.

В примере правило Лопиталя применено два раза.

Раскрытие неопределенностей вида , , ,,

1. При раскрытии неопределенности вида , следует сначала алгебраически преобразовать функцию, стоящую под знаком предела, для того чтобы получить неопределенности видаили , а затем применить правило Лопиталя.

Пример 6.22. Найти пределы а) б)