Властивості повних систем. Поняття замкненої системи


Повна ортогональна система. Критерій повноти ортогональної системи. Рівність Парсеваля

Поняття збіжності в середньому

План

Лекція 52. Властивості ортогональних систем

  1. Поняття збіжності в середньому
  2. Повна ортогональна система. Критерій повноти ортогональної системи. Рівність Парсеваля
  3. Властивості повних систем. Поняття замкненої системи

 

Нехай подана функціональна послідовність , елементи якої належать .

Визначення 1. Кажуть, що функціональна послідовність збігається в середньому к з , якщо

 

.

 

Визначення 2. Кажуть, що функціональний ряд , усі члени якого з простору , збігається в середньому до суми , якщо до в середньому збігається функціональна послідовність зрізаних сум цього ряду, тобто

 

.

 

Визначення 3. Система ортогональних функцій з простору називається повною в просторі , якщо ряд Фурьє для будь-якої функції збігається в середньому до .

Теорема 1 (критерій повноти системи ортогональних функцій). Ортогональна система буде повною в тоді й тільки тоді, коли має місце рівність

 

для будь-якої .

 

Доказ. Нехай - ортогональна система функцій в просторі . Побудуємо ряд Фурьє для довільної функції :

 

, де .

 

За визначенням, система є повною тоді й тільки тоді, коли , тут - а зрізана сума ряду , яка одночасно є многочленом Фурьє. Враховуючи це, згадаємо тотожність Бесселя:

 

.

 

Тоді, якщо перейти в лівій частині тотожності Бесселя до границі, коли , отримаємо:

 

,

 

але це рівносильно тому, що границя правої частини також дорівнює 0:

 

 

 

.

 

Остання рівність має назву рівності Парсеваля.

 

Визначення 4. Ортогональна система функцій з простору називається замкненою, якщо з того, що функція ортогональна кожній функції з системи витікає, що ~0 в просторі , тобто може відрізнятися від 0 лише в скінченній кількості точок сегмента .

Теорема 1. Якщо система є повною в просторі , вона є і замкненою.

Доказ. Нехай функція ортогональна всім функціям .

Покажемо, що ~0 в . Маємо:

 

,

 

бо ортогональна усім .

Система є повною, тоді має місце рівність Парскваля: . Враховуючи, що всі , маємо:

 

,

 

а тому з рівності Парсеваля отримаємо:

,

 

звідки за властивістю визначеного інтегралу Римана витікає, що ~0, а тому система функцій є замкненою, що й потрібно було довести.

Теорема 2. Якщо система функцій є повною в , а функції і мають однакові коефіцієнти Фурьє по цій системі, то ~ (якщо і - неперервні, то ).

Доказ. Побудуємо допоміжну функцію . Знайдемо коефіцієнти Фурьє, для :

 

 

 

З того, що для будь-якого витікає, що ортогональна кожній . Оскільки повна, а тому і замкнена, то ~0, чи ~ .

Твердження. Основні тригонометричні системи є повними.