Парабола. Вывод канонического уравнения. Виды парабол

 

Def. Параболой называют геометрическое место точек плоскости, расстояние от которых до фиксированной точки, называемой фокусом, равно расстоянию до прямой, называемой директрисой.

 

Пусть r – расстояние от точки параболы до фокуса;

d – расстояние от точки параболы до директрисы.

Тогда, по определению, уравнение параболы

.

Получим уравнение параболы, расположенной в плоскости с д.п.с.к. X0Y.

Пусть фокус F принадлежит оси 0X. Директрису проведем перпендикулярно оси 0Х на расстоянии p от фокуса F. Пусть начало координат т.0 – является серединой этого расстояния.

Пусть т. M(x;y) – «текущая» точка параболы.

Пусть r – расстояние от т. M(x;y) до фокуса ;

d – расстояние от т. M(x;y) до директрисы .

 
 

 


По определению параболы .

По теореме Пифагора из прямоугольного ΔF MN:

.

Расстояние от т. M(x;y) до директрисы

.

Таким образом, .

Возведя обе части в квадрат, получим

.

Откуда – каноническое (простейшее) уравнение параболы.

 

Note 1 Дома или на п/з доказать, что парабола – кривая второго порядка.

Так как по определению расстояние , то из уравнения параболы следует, что .

Так как в уравнении параболы ордината «текущей» точки M(x;y) y входит во второй степени, то парабола симметрична относительно оси 0Х. При этом верхнюю и нижнюю части кривой называют ветвями параболы, а начало координат т. О(0;0) – ее вершиной.

 

Note 2 Дома или на п/з обосновать различные виды парабол:

 

Парабола симметричная оси 0Y, .
Парабола симметричная оси 0Y, .
Парабола симметричная оси 0X, .

 

Note 3 Дома или на п/з доказать, что , т.е. для параболы.

 

Note 4 Дома или на п/з (с помощью параллельного переноса системы координат на a по оси 0Х и на b по оси 0Y) доказать, что – уравнение параболы с вершиной в т.С(a;b).

 

 
 

 

 


Note 5 Таким образом, основной характеристикой кривой второго порядка является ее эксцентриситет , т.е. если – окружность, – парабола, – гипербола, – эллипс.