Контрольная работа: Дифференциальное исчисление функций
Раздел: Рефераты по математике
Тип: контрольная работа
Содержание
1. Введение в анализ и дифференциальное исчисление функции одного переменного
2. Дифференциальное исчисление функций и его приложение
3. Интегральное исчисление функции одного переменного
1. Введение в анализ и дифференциальное исчисление функции одного переменного
1. Вычислить предел: 
.
Решение.
При 
имеем
Следовательно,
2. Найти асимптоты
функции: 
.
Решение.
Очевидно, что функция не
определена при 
.
Отсюда получаем, что
Следовательно, 
– вертикальная асимптота.
Теперь найдем наклонные асимптоты.
Следовательно, 
– наклонная асимптота при 
.
3. Определить
глобальные экстремумы: 
при 
.
Решение.
Известно, что глобальные
экстремумы функции на отрезке достигаются или в критических точках,
принадлежащих отрезку, или на концах отрезка. Поэтому сначала находим 
.
.
А затем находим критические точки.
Теперь найдем значение функции на концах отрезка.
.
Сравниваем значения и получаем:
4. Исследовать на
монотонность, найти локальные экстремумы и построить эскиз графика функции: 
.
Решение.
Сначала находим .
.
Затем находим критические точки.
| x |
|
–3 |
|
0 |
|
|
|
– | 0 | + | 0 | + |
|
|
убывает | min | возрастает | возрастает | возрастает |
Отсюда следует, что функция
возрастает при 
,
убывает при 
.
Точка 
– локальный минимум.
5. Найти промежутки
выпуклости и точки перегиба функции: 
.
Решение
Чтобы найти промежутки выпуклости и точки перегиба, найдем вторую производную функции.
.
.
.
x |
|
–2 |
|
1 |
|
|
|
– | 0 | – | 0 | + |
|
|
вогнутая | перегиб | выпуклая | перегиб | вогнутая |
Отсюда следует, что функция
выпуклая при 
,
вогнутая при 
.
Точки 
, 
– точки перегиба.
2. Дифференциальное исчисление функций и его приложение»
1. Провести полное исследование
свойств и построить эскиз графика функции 
.
Решение.
1) Область определения функции
.
2) Функция не является четной или нечетной, так как
.
3) Теперь найдем точки пересечения с осями:
а) с оx: 
,
б) с oy .
4) Теперь найдем асимптоты.
а) 
А значит, 
является вертикальной
асимптотой.
б) Теперь найдем наклонные асимптоты
Отсюда следует, что
является наклонной асимптотой при 
.
5) Теперь найдем критические точки
не существует при 
.
6) 
не существует при
| x |
|
0 |
|
2 |
|
4 |
|
|
|
+ | 0 | – | Не сущ. | – | 0 | + |
|
|
– | – | – | Не сущ. | + | + | + |
| y |
возрастает выпуклая |
max
|
убывает выпуклая |
не сущ. |
убывает вогнутая |
min
|
возрастает вогнутая |
Построим эскиз графика
функции
2. Найти локальные экстремумы функции
.
Решение.
Сначала найдем частные производные
Известно, что необходимым условием существования экстремума является равенство нулю частных производных.
То есть мы получили одну критическую
точку: 
. Исследуем ее.
Далее проведем исследование этой точки.
Для чего найдем предварительно частные производные второго порядка
Для точки :
.
Следовательно, точка не является точкой
экстремума.
Это означает, что точек экстремума у функции
нет.
3. Определить экстремумы функции 
, если 
.
Решение.
Сначала запишем функцию Лагранжа
.
И исследуем ее
(Учитываем, что по
условию 
)
То есть мы получили четыре критические точки.
В силу условия 
нам подходит только первая
.
Исследуем эту точку.
Вычислим частные производные второго порядка:
Отсюда получаем, что
Теперь продифференцируем уравнение связи
.
Для точки
Далее получаем
То есть мы получили отрицательно определенную квадратичную форму.
Следовательно, 
– точка условного локального
максимума.
.
3. Интегральное исчисление функции одного переменного
1–3. Найти неопределенный интеграл
1. 
.
Решение.
.
2. 
.
Решение.
.
3. 
Решение.
.
4. Вычислить 
.
Решение.
.
5. Определить площадь плоской фигуры, ограниченной кривыми
.
Решение.
.
| Исследование функций и построение их графиков | |
|
Тема 1. Предел функции Число А называется пределом функции при , стремящимся к , если для любого положительного числа (>0) найдется такое ... . Если вторая производная дважды дифференцируемой функции положительна (отрицательна) внутри множества , то функция вогнута (выпукла) на . Точкой перегиба графика непрерывной функции называется точка, разделяющие интервалы, в которых функция выпукла и вогнута. |
Раздел: Рефераты по математике Тип: учебное пособие |
| Экстремумы функций | |
|
Содержание. 1. Введение..................3 2. Историческая справка..............4 3. Экстремумы функций одной переменной. 3.1. Необходимое условие ... Экстремум следует искать только в тех точках, где производная равна нулю. Одним из наиболее ярких популярных достижений дифференциального исчисления являются предполагаемые им рецепты отыскания экстремумов функций. |
Раздел: Рефераты по математике Тип: реферат |
| Решение задач на экстремум | |
|
Содержание Введение Глава 1. Методы решения задач на экстремумы §1.История развития задач на экстремумы. §2.Способы решения задач на экстремумы. 2.1 ... Если в античные времена задачи на экстремумы исследовались только геометрическими методами и каждая задача для своего решения требовала специфического приема, то в XVII веке ... Открытое И. Кеплером основное свойство экстремумов было затем оформлено в виде теоремы сначала П. Ферма (для многочленов), потом И. Ньютоном и Г. В. Лейбницем для произвольных ... |
Раздел: Рефераты по педагогике Тип: дипломная работа |
| Математический анализ. Практикум | |
|
Математический анализ. Практикум. Для студентов ВУЗов по специальности: "Государственное и муниципальное управление" Т.З. Павлова Колпашево 2008 Глава ... Поэтому строится не точный график, а его приближение, на котором четко обозначены найденные элементы (экстремумы, точки перегиба, асимптоты и т.д.) 3. Найти частные производные второго порядка, вычислить их значения в критических точках и с помощью достаточного условия сделать вывод о наличии экстремумов. |
Раздел: Рефераты по математике Тип: учебное пособие |
| Шпаргалки на экзамен в ВУЗе (1 семестр, математика) | |
|
1) Основные понятия линейной алгебры. Задачи о перевозках. Элементы линейной алгебры. Задачи о перевозках. На 2-х складах А1 и А2 сосредоточено а1, а2 ... Точка, отделяющая выпуклую часть кривой от вогнутой, называется точкой перегиба.Очевидно, что в точке перегиба касательная пересекает кривую. Очевидно, что областью определения функции является область (- ; -1) (-1; 1) (1; ). В свою очередь, видно, что прямые х = 1, х = -1 являются вертикальными асимптотами кривой ... |
Раздел: Рефераты по математике Тип: реферат |