2. Формальная непротиворечивость.

Если среди первоначальных имеются утверждения, противоречащие друг другу, то это разрушает теорию как систему. Закономерно связать противоречивые утверждения невозможно. Согласно логическому закону непротиворечивости оба противоречивых утверждения одновременно не могут быть истинными, значит, хотя бы одно из них ложно.

Для того, чтобы аксиоматическая система стала действительно системой, первоначальные утверждения должны быть между собой связаны. В качестве способов связи утверждений между собой логика предлагает нам конъюнкцию, дизъюнкцию, импликацию, эквивалентность. Не все из них годятся для объединения утверждений именно в аксиоматическую систему. Так, дизъюнкция не подходит для этой цели из-за того, что заставляет нас выбирать какое-либо одно из связанных дизъюнкцией утверждений, говоря: либо А, либо В. Но поскольку нам необходимо сохранить обе наши аксиомы, от дизъюнкции мы вынуждены отказаться.

Эквивалентность говорит: А тогда и только тогда, если В. Но это означает, что А не является самостоятельной аксиомой, а является следствием В и, следовательно, от эквивалентности мы тоже вынуждены отказаться (см. правило 4).

Самым удобным способом связи является конъюнкция, которая говорит: и А, и В, т.е. является буквальной совокупностью всех наших утверждений - аксиом. Нам совершенно необходимо, чтобы вся совокупность (конъюнкция) была истинной. В принципе, каждое утверждение может быть как истинным (1), так и ложным (0). Согласно таблице конъюнкции

А

 

В

 

АиВ

 

1

 

1

 

1

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

совокупность утверждений истинна только тогда, когда истинны оба (все), входящие в нее утверждения. Если хотя бы одно из них ложно, становится ложной и вся совокупность. Таким образом, если мы имеем пару противоречащих друг другу утверждений, то хотя бы одно из них ложно и, следовательно, соединяя их в систему при помощи конъюнкции, мы получаем ложную аксиоматическую систему.

Поскольку импликация: если А, то В или А=>В (если на небе тучи (А), то идет дождь (В)), является значительно менее жесткой, чем эквивалентность, мы обязаны рассмотреть и такой способ объединения утверждений в аксиоматическую систему. Согласно таблице импликации

8

А

 

В

 

 

1

 

1

 

1

 

1

 

 

 

 

1

 

1

 

 

 

1

 

в случае истинности условия (А) и ложности заключения (В) вся импликация является ложной. В нашей аксиоматической системе заранее неизвестно, какое первоначальное утверждение можно расценивать как условие, а какое - как заключение, следовательно, при наличии одного ложного утверждения (заключения) вся импликация становится ложной. Но если кому-то покажется, что достаточно сгруппировать аксиомы таким образом, чтобы ложным было именно условие и это исправит положение, то это не так. В таблице импликации этому случаю соответствуют две последние строчки, которые говорят нам, что из логически ложного условия следует все, что угодно.

Таблица импликации показывает, что в случае ложности А, независимо от истинности или ложности В, импликация А=>В является истинной. В живом русском языке этот факт нашел отражение в следующей популярной фразе: "Если (следует любое неправильное, с точки зрения говорящего, утверждение), то я - китайский император".

Таким образом, независимо от того, какую позицию в импликации занимает ложное (противоречивое) утверждение, совокупность всех утверждений приобретает для разработчиков теории неудовлетворительный характер, следовательно, формальная непротиворечивость первоначальных утверждений является безусловным требованием, ему должна удовлетворять всякая теория.

«все книги     «к разделу      «содержание      Глав: 25      Главы: <   4.  5.  6.  7.  8.  9.  10.  11.  12.  13.  14. >