Лекция 3. Interest Rate Futurities Фьючерсы на доходность

Фьючерсный контракт на актив,  цена которых зависит от уровня доходности называется interest rate фьючерсы.

Спот и форвардный рейт.

n-годовой спот рейт  это доходность инвестиций сделанной сегодня и заканчивающаяся через n лет.  n-годовой спот рейт  без промежуточных выплат называют n-year zero-coupon yield.

Форвардным рейтом называют рейт доходности полученный от инвестиции сделанной через некоторое время в будущем на некоторый период времени.

Пример.

Правило для вычисления форфардного рейта можно понять из следующей таблицы.

Второй столбец таблицы это n-годовой спот рейт в процентах годовых с непрерывным начислением. В результате инвестиция в 100$ сделанной на год мы в итоге получим 100*exp(0.1) долларов, а инвестиция на 2 года принесет  100 * exp(2*0.105).

С другой стороны это должно быть равно (в силу отсутствия арбитража) сначала инвестиции на один год, а затем последующей инвестиции полученных средств еще на один год с форвардным рейтом x. Таким образом получим соотношение

100*exp(0.1)*exp(x*1) = 100 * exp(2*0.105)

откуда

+ x = 0.21 или

x = 0.11

Общая формула для вычисления форвардных рейтов имеет следующий вид.

Пусть r(T) и r(T*)  спот рейты при инвестиции на срок T и T* лет соответственно, причем T* >T, тогда форвардный рейт r(T,T*-T) при инвестиции в момент времени T на срок T* - T будет равен

r (T,T*-T) = ( r(T*)T*  - r(T)T) / (T* - T).       (1)

Zero-coupon временная структура.

Под Zero-coupon временной структурой понимается функция, показываюшая зависимость спот рейта от времени до окончания (матерость). Пример временной структуры – первый и второй столбец таблицы. Аналогично можно ввести понятие форвардной временной структуры. Переписав (1) как

r (T,T*-T) = r(T*)  + ( r(T*)  - r(T))T / (T* - T)

и перейдя к пределу при  стремлении  T* к T последнее можно переписать как

r + T dr/dT

Что можно интерпретировать как инвестицию сделанную в момент T на бесконечно малый промежуток времени. Это называют мгновенным форвардным рейтом (instantaneous forward rate) для матерости T.

На практике спот рейты (или zero coupon yelds) не наблюдаются непосредственно. То, что можно найти на рынке это так называемые coupon-bearing bonds. Из них обычно и получают zero coupon yelds. Метод получения называется бутстреп.(bootstrap) Для иллюстрации рассмотрим следующую таблицу

Так как первые три бонда не выплачивают купонов то непрерывно начисляемый рейт можно вычислить по уже хорошо нам знакомой формуле. Следующий бонд уже имеет выплаты по купонам

Через 6 месяцев 4$

год 4$

1.5  104$

Но дискаунт рейты с матеростью 0.5 года и 1 год нам известны поэтому

4exp(-0.1047*0.5) + 4exp(-0.1054*1) + 104exp(-1.5 * R) = 96

Отсюда R = 0.1068

Аналогично для следующего бонда

6exp(-0.1047*0.5) + 6exp(-0.1054*1) + 6exp(-1.5 * 0.1068)+106 exp(-2.0 * R) = 101.6

Отсюда R = 0.1081

Наконец последний

6exp(-0.1047*0.5) + 6exp(-0.1054*1) + 6exp(-1.5 * 0.1068)+106 exp(-2.0 * R) = 101.6

Дюрация. Важным понятием при работе с фьючерсами при их хеджировании является понятие дюрации. Под дюрацией понимают меру того как долго в среднем держатель актива должен ожидать получениния выплат. Например, если инвестор имеет безкупонный бонд с матеростью n лет, то дюрация естественно составляет n. Однако, для купонного бонда это уже не так. Для него дюрация будет меньше, чем n. Действительно, в момент времени 0 ,бонд гарантирует выплаты c(i)  в моменты времени t(i). Цена бонда при доходности y (непрерывно начисляемой) будет

B = Sc(i)exp(-y*t(i)).               (1)

Дюрация такого бонда определяется как

D = [St(i)c(i)exp(-y*t(i))]/B,   (2)

что может быть переписано, как

D = St(i)[c(i)exp(-y*t(i))/B]

Член  в квадратных скобках это отношение текущей величины выплат в момент t(i) к цене бонда B.  Цена бонда это текущая стоимость всех выплат. Итак дюрация есть взвешенная сумма времен, когда делаются выплаты с весами соответствующими выплатам в момент t(i) поделенным на цену бонда. Сумма весов естественно равняется 1. Теперь мы покажем, почему дюрация очень важна при хеджировании.

Из соотношения (1) имеем:

d B/dy = -Sc(i)t(i)exp(-y*t(i)), что

в силу (2)

d B/dy = -BD    (3)

Если сделать небольшой параллельный сдвиг во временной структуре на Dy, то из соотношения (3) получим, что цена бонда изменится на DB, где

D B/ Dy = -BD     (4)

или

D B/ B  =-DDy     (5)

что означает, что процент изменения цены бонда равен его дюрации умноженной на размер параллельного сдвига.

Пример.

Рассмотрим пример 3 летнего бонда с номиналом 100$. Пусть его доходность составляет 12% в год с непрерывным начислением  (y=0.12). Пусть каждые 6 месяцев выплачивается купон равный 5$, тогда необходимые для вычисления его дюрации члены поместим в таблице

Итак дюрация составляет 2.654

Из соотношения (4) получим

D B = - 94.213 * 2.654 *Dy

D B = - 250.04 *Dy

Если  Dy=0.001 и y станет равным 0.121 и следовательно D B = -0.25. Другими словами мы ожидаем, что цена бонда уменьшится и станет равным 94.213 – 0.25 = 93.963

Пересчитав цену бонда с доходностью 0.121, можно проверить, что именно столько и получится.

Дюрация портфеля представляет как взвешенную дюрацию бондов, входящих в портфель.

В случае, когда процент начисляется один раз в год, а не непрерывно можно показать, что

D B  =-BDDy/(1+y)    (5)

Стратегия хеджирования, основанная на дюрации

Расммотрим ситуацию, когда позиция в зависящем от доходности активе (например бонде) хеджируется с использованием фьючерса на доходность.

Пусть

F – цена фьючерса на доходность

D(F) – дюрация актива на который выписан фьючерс.

S  - величина актива, который хеджируется

D(S) – дюрация актива на который выписан фьючерс.

Предположим что изменение доходности составило Dy и оно является одинаковым для всех матеростей, т.е. произошел параллелный сдвиг временной структуры. Из соотношения (4) имеем

DS = -SD(S) Dy

для фьючерса оно выглядит также

DF = -FD(F) Dy

тогда количество контрактов, необходимых для хеджирования против такого увеличения составит

N = SD(S)/ FD(F)

Это соотношение называют duration-based hedge ratio или price sensitivity hedge ratio.

Пример.

20 мая инвестор знает, что получит 3.3 миллиона долларов 5 августа. И эти средства он собирается инвестировать в следующем феврале. Поэтому как только он в августе их получит, то сразу из инвестиреут в 6 месячный Treasury Bills. Текущая доходность по 6 месячным Treasury Bills составляет 11.2% в год. Инвестор считает, что за срок с 20 мая по 5 августа эта доходность может изменится. Цена фьючерса на сентябрьский T-Bill сейчас есть 89.44. В случае если доходности упадут, то компания потеряет деньги. Страховка от этого должна принести положительный доход, чтобы компенсировать потери при уменьшении доходности. Это означает что требуется длинная позиция для страховки.

Так как за 3 месяца выплат не будет, то дюрация купленного сейчас T-Bill составляет также 3  месяца или 0.25 года. Дюрация 6 месячного T-Bill, также составляет 6 месяцев или 0.5 года.

Один фьючерсный контракт составляет 1 миллион долларов. При этом цена контракта составит

10000[100-0.25(100-89.44)] = 973600

тогда количество контрактов, которые стоит заключить для целей страховки составит

3300000/973600 * 0.5/0.25 = 6.78

т.е. 7 контрактов следует сейчас заключить, чтобы избежать потерь из-за возможного падения

доходности Treasury Bills.

Фьючерсный контракт на актив,  цена которых зависит от уровня доходности называется interest rate фьючерсы.

Спот и форвардный рейт.

n-годовой спот рейт  это доходность инвестиций сделанной сегодня и заканчивающаяся через n лет.  n-годовой спот рейт  без промежуточных выплат называют n-year zero-coupon yield.

Форвардным рейтом называют рейт доходности полученный от инвестиции сделанной через некоторое время в будущем на некоторый период времени.

Пример.

Правило для вычисления форфардного рейта можно понять из следующей таблицы.

Второй столбец таблицы это n-годовой спот рейт в процентах годовых с непрерывным начислением. В результате инвестиция в 100$ сделанной на год мы в итоге получим 100*exp(0.1) долларов, а инвестиция на 2 года принесет  100 * exp(2*0.105).

С другой стороны это должно быть равно (в силу отсутствия арбитража) сначала инвестиции на один год, а затем последующей инвестиции полученных средств еще на один год с форвардным рейтом x. Таким образом получим соотношение

100*exp(0.1)*exp(x*1) = 100 * exp(2*0.105)

откуда

+ x = 0.21 или

x = 0.11

Общая формула для вычисления форвардных рейтов имеет следующий вид.

Пусть r(T) и r(T*)  спот рейты при инвестиции на срок T и T* лет соответственно, причем T* >T, тогда форвардный рейт r(T,T*-T) при инвестиции в момент времени T на срок T* - T будет равен

r (T,T*-T) = ( r(T*)T*  - r(T)T) / (T* - T).       (1)

Zero-coupon временная структура.

Под Zero-coupon временной структурой понимается функция, показываюшая зависимость спот рейта от времени до окончания (матерость). Пример временной структуры – первый и второй столбец таблицы. Аналогично можно ввести понятие форвардной временной структуры. Переписав (1) как

r (T,T*-T) = r(T*)  + ( r(T*)  - r(T))T / (T* - T)

и перейдя к пределу при  стремлении  T* к T последнее можно переписать как

r + T dr/dT

Что можно интерпретировать как инвестицию сделанную в момент T на бесконечно малый промежуток времени. Это называют мгновенным форвардным рейтом (instantaneous forward rate) для матерости T.

На практике спот рейты (или zero coupon yelds) не наблюдаются непосредственно. То, что можно найти на рынке это так называемые coupon-bearing bonds. Из них обычно и получают zero coupon yelds. Метод получения называется бутстреп.(bootstrap) Для иллюстрации рассмотрим следующую таблицу

Так как первые три бонда не выплачивают купонов то непрерывно начисляемый рейт можно вычислить по уже хорошо нам знакомой формуле. Следующий бонд уже имеет выплаты по купонам

Через 6 месяцев 4$

год 4$

1.5  104$

Но дискаунт рейты с матеростью 0.5 года и 1 год нам известны поэтому

4exp(-0.1047*0.5) + 4exp(-0.1054*1) + 104exp(-1.5 * R) = 96

Отсюда R = 0.1068

Аналогично для следующего бонда

6exp(-0.1047*0.5) + 6exp(-0.1054*1) + 6exp(-1.5 * 0.1068)+106 exp(-2.0 * R) = 101.6

Отсюда R = 0.1081

Наконец последний

6exp(-0.1047*0.5) + 6exp(-0.1054*1) + 6exp(-1.5 * 0.1068)+106 exp(-2.0 * R) = 101.6

Дюрация. Важным понятием при работе с фьючерсами при их хеджировании является понятие дюрации. Под дюрацией понимают меру того как долго в среднем держатель актива должен ожидать получениния выплат. Например, если инвестор имеет безкупонный бонд с матеростью n лет, то дюрация естественно составляет n. Однако, для купонного бонда это уже не так. Для него дюрация будет меньше, чем n. Действительно, в момент времени 0 ,бонд гарантирует выплаты c(i)  в моменты времени t(i). Цена бонда при доходности y (непрерывно начисляемой) будет

B = Sc(i)exp(-y*t(i)).               (1)

Дюрация такого бонда определяется как

D = [St(i)c(i)exp(-y*t(i))]/B,   (2)

что может быть переписано, как

D = St(i)[c(i)exp(-y*t(i))/B]

Член  в квадратных скобках это отношение текущей величины выплат в момент t(i) к цене бонда B.  Цена бонда это текущая стоимость всех выплат. Итак дюрация есть взвешенная сумма времен, когда делаются выплаты с весами соответствующими выплатам в момент t(i) поделенным на цену бонда. Сумма весов естественно равняется 1. Теперь мы покажем, почему дюрация очень важна при хеджировании.

Из соотношения (1) имеем:

d B/dy = -Sc(i)t(i)exp(-y*t(i)), что

в силу (2)

d B/dy = -BD    (3)

Если сделать небольшой параллельный сдвиг во временной структуре на Dy, то из соотношения (3) получим, что цена бонда изменится на DB, где

D B/ Dy = -BD     (4)

или

D B/ B  =-DDy     (5)

что означает, что процент изменения цены бонда равен его дюрации умноженной на размер параллельного сдвига.

Пример.

Рассмотрим пример 3 летнего бонда с номиналом 100$. Пусть его доходность составляет 12% в год с непрерывным начислением  (y=0.12). Пусть каждые 6 месяцев выплачивается купон равный 5$, тогда необходимые для вычисления его дюрации члены поместим в таблице

Итак дюрация составляет 2.654

Из соотношения (4) получим

D B = - 94.213 * 2.654 *Dy

D B = - 250.04 *Dy

Если  Dy=0.001 и y станет равным 0.121 и следовательно D B = -0.25. Другими словами мы ожидаем, что цена бонда уменьшится и станет равным 94.213 – 0.25 = 93.963

Пересчитав цену бонда с доходностью 0.121, можно проверить, что именно столько и получится.

Дюрация портфеля представляет как взвешенную дюрацию бондов, входящих в портфель.

В случае, когда процент начисляется один раз в год, а не непрерывно можно показать, что

D B  =-BDDy/(1+y)    (5)

Стратегия хеджирования, основанная на дюрации

Расммотрим ситуацию, когда позиция в зависящем от доходности активе (например бонде) хеджируется с использованием фьючерса на доходность.

Пусть

F – цена фьючерса на доходность

D(F) – дюрация актива на который выписан фьючерс.

S  - величина актива, который хеджируется

D(S) – дюрация актива на который выписан фьючерс.

Предположим что изменение доходности составило Dy и оно является одинаковым для всех матеростей, т.е. произошел параллелный сдвиг временной структуры. Из соотношения (4) имеем

DS = -SD(S) Dy

для фьючерса оно выглядит также

DF = -FD(F) Dy

тогда количество контрактов, необходимых для хеджирования против такого увеличения составит

N = SD(S)/ FD(F)

Это соотношение называют duration-based hedge ratio или price sensitivity hedge ratio.

Пример.

20 мая инвестор знает, что получит 3.3 миллиона долларов 5 августа. И эти средства он собирается инвестировать в следующем феврале. Поэтому как только он в августе их получит, то сразу из инвестиреут в 6 месячный Treasury Bills. Текущая доходность по 6 месячным Treasury Bills составляет 11.2% в год. Инвестор считает, что за срок с 20 мая по 5 августа эта доходность может изменится. Цена фьючерса на сентябрьский T-Bill сейчас есть 89.44. В случае если доходности упадут, то компания потеряет деньги. Страховка от этого должна принести положительный доход, чтобы компенсировать потери при уменьшении доходности. Это означает что требуется длинная позиция для страховки.

Так как за 3 месяца выплат не будет, то дюрация купленного сейчас T-Bill составляет также 3  месяца или 0.25 года. Дюрация 6 месячного T-Bill, также составляет 6 месяцев или 0.5 года.

Один фьючерсный контракт составляет 1 миллион долларов. При этом цена контракта составит

10000[100-0.25(100-89.44)] = 973600

тогда количество контрактов, которые стоит заключить для целей страховки составит

3300000/973600 * 0.5/0.25 = 6.78

т.е. 7 контрактов следует сейчас заключить, чтобы избежать потерь из-за возможного падения

доходности Treasury Bills.